[论文解读] Universal construction of topological theories in two dimensions

Mikhail Khovanov|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2020

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 44被引用 9

一句话总结

本文通过cobordism范畴与泡沫评价，提出了一种二维拓扑场论的通用构造，其范围超越了标准TQFT公理。该理论推导出域上的有理理论，通过Hankel矩阵与对称函数进行分类，并表明Robert-Wagner对重叠泡沫的泡沫评价可作为Sergeev-Pragacz公式与Day行列式公式的特例。

ABSTRACT

We consider Blanchet, Habegger, Masbaum and Vogel's universal construction of topological theories in dimension two, using it to produce interesting theories that do not satisfy the usual two-dimensional TQFT axioms. Kronecker's characterization of rational functions allows us to classify theories over a field with finite-dimensional state spaces and introduce their extension to theories with the ground ring the product of rings of symmetric functions in N and M variables. We look at several examples of non-multiplicative theories and see Hankel matrices, Schur and supersymmetric Schur polynomials quickly emerge from these structures. The last section explains how an extension of the Robert-Wagner foam evaluation to overlapping foams gives the Sergeev-Pragacz formula for the supersymmetric Schur polynomials and the Day formula for the Toeplitz determinant of rational power series as special cases.

研究动机与目标

• 通过放宽对张量积结构的要求，将拓扑量子场论推广至标准公理之外。
• 利用Kronecker对有理函数的刻画，对具有有限维状态空间的域上有限维有理拓扑理论进行分类。
• 将理论扩展至N和M个变量的对称函数环，从而引入新的代数结构。
• 展示对重叠泡沫的泡沫评价如何恢复对称函数理论中的已知公式。
• 通过广义泡沫评价框架，统一Robert-Wagner泡沫评价与Sergeev-Pragacz及Day公式。

提出的方法

• 使用Blanchet等人提出的通用构造，将状态空间定义为自由模关于κ-对称双线性形式核的商。
• 通过生成函数定义圆的状态空间，其中Hankel矩阵编码双线性形式的结构。
• 应用Kronecker定理对有理生成函数进行分类，从而得到有限维状态空间。
• 引入半通用有理理论α_{M,N}，其状态空间位于N和M个变量的对称函数环的乘积上。
• 通过沿两个圆将两个泡沫粘合，构造重叠泡沫，为面分配变量，并定义依赖于着色的评价。
• 通过计算相交面的贡献项：(δ_s - r_i) 与 (ρ_t - r_j)，推导泡沫评价，得到有理函数与行列式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在不满足标准TQFT张量积公理的条件下，构造二维拓扑理论？
• RQ2 具有有限维状态空间的域上，有理拓扑理论的分类是什么？
• RQ3 Hankel矩阵与对称函数如何自然地出现在此类理论的状态空间结构中？
• RQ4 Robert-Wagner泡沫评价能否扩展至重叠泡沫，以恢复对称函数理论中的已知公式？
• RQ5 泡沫评价与有理洛朗级数的Toeplitz行列式之间有何联系？

主要发现

• 通用构造产生非乘法的拓扑理论，通过放宽张量函子条件，推广了标准TQFT。
• 域上的有理理论通过Kronecker刻画进行分类，其状态空间为有限维，由生成函数的Hankel矩阵决定。
• 半通用理论α_{M,N}的状态空间位于N和M个变量的对称函数环的乘积上，统一了不同的代数结构。
• 对特定着色的重叠泡沫进行评价，可得到有理函数，其行列式即为有理洛朗级数的Toeplitz行列式之Day公式。
• 相同的泡沫评价框架可作为特例，恢复Sergeev-Pragacz公式对超对称Schur多项式的表达。
• 泡沫评价中的符号约定被选择为与最终行列式表达式中的(−1)^m项一致，确保与已知公式的兼容性。