[论文解读] Universal curvature identities and Euler Lagrange Formulas for Kaehler manifolds

Peter Gilkey, JeongHyeong Park+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 11, 2013

Geometry and complex manifolds参考文献 14被引用 3

一句话总结

本文通过将曲率缩并得到的特征不变量与Kähler形式的幂次配对，建立了Kähler流形的通用曲率恒等式和Euler-Lagrange方程。证明了由不变多项式与Kähler形式配对构成的标量不变量的Euler-Lagrange方程，与Kähler情形下的对称2-张量值通用曲率恒等式一致，通过限制映射和几何变分法，将实情形下的结果推广至复情形。

ABSTRACT

We relate certain universal curvature identities for Kaehler manifolds to the Euler-Lagrange equations of the scalar invariants which are defined by pairing characteristic forms with powers of the Kaehler form.

研究动机与目标

• 将实黎曼几何中的通用曲率恒等式推广至Kähler情形，其中复结构和Kähler形式引入了额外对称性。
• 推导由曲率的不变多项式与Kähler形式的幂次配对构成的标量不变量的Euler-Lagrange方程。
• 在Kähler背景下，建立这些Euler-Lagrange方程与对称2-张量值通用曲率恒等式之间的精确对应关系。
• 证明此类不变量的Euler-Lagrange算子通过限制映射和几何变分技术，与一个通用曲率恒等式一致。
• 通过利用全纯结构、曲率对称性及特征类，将先前实几何中的结果推广至Kähler情形。

提出的方法

• 利用Newlander-Nirenberg定理定义全纯结构，并将张量丛分解为J-不变与J-反不变分量。
• 应用Kähler恒等式 $ R(x,y,z,w) = R(x,y,Jz,Jw) $，以利用复结构带来的曲率对称性。
• 通过在曲率上配对对称多项式 $ ext{Tr}_ u $ 与 $ rac{1}{m!} ar{ u}^m $（体积形式）来定义标量不变量。
• 使用从 $ rak{S}_{m,k} $ 到 $ rak{S}_{k,k} $ 的限制映射 $ r_{m,k} $，关联不同复维数流形上的不变量。
• 对一参数族Kähler度量 $ ilde{g}_ u $ 应用变分法，计算不变量的一阶变分，以推导Euler-Lagrange方程。
• 利用 $ S_+^2M $ 与 $ igwedge_+^2M $ 之间通过Kähler形式 $ ar{ u} $ 的同构关系，将张量恒等式转化为曲率不变量。

实验结果

研究问题

• RQ1 在Kähler情形下，通用曲率恒等式如何与通过将特征形式与Kähler形式的幂次配对构成的标量不变量的Euler-Lagrange方程相关联？
• RQ2 Kähler不变量的Euler-Lagrange方程能否表示为对称2-张量值的通用曲率恒等式？
• RQ3 限制映射 $ r_{m,k} $ 在关联不同复维数流形上的曲率不变量中起什么作用？
• RQ4 沿一族 $ ilde{ u}_ u $ 变化的度量如何影响曲率缩并与 $ ar{ u}^k $ 配对的积分？
• RQ5 在何种条件下，Kähler不变量的一阶变分消失，意味着存在一个通用曲率恒等式？

主要发现

• 标量不变量 $ rac{1}{k!} ar{ u}^k ullet ilde{ u}_k(ar{ u}) $ 的Euler-Lagrange方程在Kähler情形下与对称2-张量值通用曲率恒等式一致。
• 从 $ rak{S}_{m,k} $ 到 $ rak{K}_{rak{Q},m,k} $ 的映射 $ ilde{ u}_{rak{Q},m,k} $ 是同构，确保每个此类不变量均来自唯一的通用曲率恒等式。
• 泛函 $ rac{1}{k!} ar{ u}^k ullet ilde{ u}_k(ar{ u}) $ 沿度量形变 $ ilde{g}_ u $ 的一阶变分为零，当且仅当曲率满足通用恒等式 $ ilde{ u}_{rak{Q},m,k} ilde{ u}_k = ilde{ u}_{rak{Q},m,k} ilde{ u}_k $。
• 限制映射 $ r_{k+1,k} $ 保持曲率恒等式的消失性，从而允许将恒等式约化至低维Kähler流形进行检验。
• 证明依赖于在 $ ilde{ u}^{k+1} imes ilde{ u}_ u^1 $ 上构造一参数族 $ ilde{ u}_ u $，表明变分积分等于底流形上的积分，若恒等式不同则导致矛盾。
• 关键恒等式 $ rac{1}{k!} ar{ u}^k ullet ilde{ u}_k(ar{ u}) = ext{Tr}(r_{k+1,k} ilde{ u}_k(ar{ u})) $ 在复维数为 $ k $ 的流形上成立，从而实现向低维的约化。