[论文解读] Universal discretization and sparse sampling recovery

F. Dai, V. Temlyakov|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2023

Mathematical Approximation and Integration被引用 8

一句话总结

论文在使用带通用离散化的最小二乘法进行稀疏恢复时，给出Lebesgue型不等式，将稀疏恢复误差与字典中的最佳v项近似在L2范数下联系起来。

ABSTRACT

Recently, it was discovered that for a given function class $\mathbf{F}$ the error of best linear recovery in the square norm can be bounded above by the Kolmogorov width of $\mathbf{F}$ in the uniform norm. That analysis is based on deep results in discretization of the square norm of functions from finite dimensional subspaces. In this paper we show how very recent results on universal discretization of the square norm of functions from a collection of finite dimensional subspaces lead to an inequality between optimal sparse recovery in the square norm and best sparse approximations in the uniform norm with respect to appropriate dictionaries.

研究动机与目标

• 动机并分析在L2范数下的采样恢复及其与一致范数中的Kolmogorov宽度的关系。
• 引入并利用一组有限维子空间的通用离散化。
• 研究基于最小二乘和v项字典的非线性稀疏恢复算法。
• 建立将基于LS的稀疏恢复与最佳v项近似联系起来的Lebesgue型不等式。
• 给出对于满足特定有界性与Riesz型条件的字典的无条件结果。

提出的方法

• 用最小二乘恢复（LS）定义采样与离散化框架，并给出基于LS的非线性稀疏恢复算法L(ξ, η) 的描述。
• 对X_v(D_N)应用单边通用离散化，通过在L2(w)和L∞范数下将LS基于恢复误差界于sigma_v(f, D_N) 。
• 引入将mu与采样点处的点质量结合的离散化度量mu_xi。
• 给出定理1.1，给出||f - LS(ξ, X_v(D_N))(f)||_2 在sigma_v(f, D_N)_{L2(Ω, μ_ξ)} 与 sigma_v(f, D_N)_∞ 的界限。
• 给出定理1.2，在先验离散化假设下，varrho^{ls}_{m,v} ≤ 常数 · sigma_v(F, D_N)_{(2,m)} 且 ≤ 常数 · sigma_v(F, D_N)_∞ 的类似界限。
• 描述对满足有界性和Riesz型条件的字典的无条件结果（定理1.3），给出在 sigma_v(F, D_N)_{(2,m)} 与 sigma_v(F, D_N)_∞ 下的界限。
• 给出对于具有Gegenbauer/三角结构的字典的推论，并讨论对混合光滑度函数类的含义。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于LS的稀疏恢复是否能在通用离散化下达到与最佳v项近似相当的误差界？
• RQ2 X_v(D_N)的一边通用离散化如何转化为对函数恢复的Lebesgue型不等式？
• RQ3 得到无条件恢复保证的充要条件是什么（如字典的有界性、Riesz类属性）？
• RQ4 所得界在不同范数（如(2,m)与∞）下对函数类F的sigma_v有何关系？
• RQ5 这些结果如何适用于经典系统如三角字典或Gegenbauer字典，以及具有混合光滑度的函数类？

主要发现

• 建立了Lebesgue型不等式：基于LS的稀疏恢复误差被最佳v项近似在L2范数下的离散化度量误差的某个倍数所界定。
• 在单边通用离散化条件下，对任意f而言，||f - LS(ξ, X_v(D_N))(f)||_2 被常数乘以 sigma_v(f, D_N)_{L2(Ω, μ_ξ)}，并被常数乘以 sigma_v(f, D_N)_∞ 所界定。
• 给出对于满足有界性与Riesz型条件的字典的无条件结果，给出明确的m密度界，使离散化性质成立并给出相应的误差界（定理1.3）。
• 推论表明，对于具有特定衰减与近似性质的字典（如三角系统、Gegenbauer多项式），可以在(2,m) 或∞范数下，将LS基于恢复误差界定为 sigma_v(F, D_N) 的界限。
• 本工作将通用离散化结果与非线性稀疏恢复联系起来，而不依赖压缩感知技术。