[论文解读] Universal eigenvarieties, trianguline Galois representations, and p-adic Langlands functoriality

David Hansen|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2014

Advanced Algebra and Geometry被引用 6

一句话总结

本文通过过密收敛上同调构造了约化群的通用特征簇，并建立了三角形伽罗瓦表示与过密收敛上同调类之间的一个猜想性联系。它引入了通用系数谱序列和广义插值定理，证明了p进朗兰兹函子性的新实例，并为二维、三维和四维中三角形表示的模性提供了证据。

ABSTRACT

Using the overconvergent cohomology modules introduced by Ash and Stevens, we construct eigenvarieties associated with reductive groups and establish some basic geometric properties of these spaces, building on work of Ash-Stevens, Urban, and others. We also formulate a precise modularity conjecture linking trianguline Galois representations with overconvergent cohomology classes. In the course of giving evidence for this conjecture, we establish several new instances of \\emph{p-}adic Langlands functoriality. Our main technical innovations are a family of universal coefficients spectral sequences for overconvergent cohomology and a generalization of Chenevier's interpolation theorem.

研究动机与目标

• 通过过密收敛上同调模建立数域上约化群的特征簇的一般理论。
• 提出一个精确的模性猜想，将三角形伽罗瓦表示与过密收敛上同调类联系起来。
• 通过谱序列和插值定理建立p进朗兰兹函子性的新实例。
• 使用上同调技术证明特征簇的几何性质，包括维数界和等维性。
• 通过特征簇为p进自守形式与伽罗瓦表示之间的猜想性对应关系提供证据。

提出的方法

• 通过弗雷德霍姆超曲面和来自上同调系统的特征簇数据，利用过密收敛上同调模构造特征簇。
• 为过密收敛上同调引入一族通用系数谱序列，以关联不同权和斜率下的上同调。
• 将谢内维耶的插值定理推广，以允许在不同权和斜率之间插值自守形式系统。
• 应用斜率分解技术分析上同调模，并分离出有限斜率特征包。
• 使用具有连续I-作用的局部解析分布模 $\mathscr{D}_\lambda$ 来参数化p进群上的自守形式。
• 应用刚性解析几何和局部上同调研究特征簇的支撑与维数，特别是在非临界点处。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过过密收敛上同调系统地构造任意约化群的特征簇？
• RQ2 三角形伽罗瓦表示与过密收敛上同调类之间精确的猜想性关系是什么？
• RQ3 在特征簇和过密收敛上同调的背景下，p进朗兰兹函子性在多大程度上成立？
• RQ4 特征簇的几何与上同调性质是什么，特别是其维数和等维性？
• RQ5 谱序列和插值定理如何被广义化，以在p进设定下证明函子性的新实例？

主要发现

• 本文通过过密收敛上同调为数域上的约化群构造了特征簇，将特征曲线的构造推广到了高秩群。
• 证明了由过密收敛上同调构造的特征簇是等维的，其维数等于权空间的维数。
• 引入了一种新的过密收敛上同调谱序列，使得能够在不同权和斜率之间研究上同调。
• 广义插值定理使得能够构造插值不同权和斜率下自守形式系统的特征簇。
• 作者建立了p进朗兰兹函子性的新实例，包括对称平方提升和Rankin-Selberg提升。
• 本文通过证明某些三角形伽罗瓦表示源自过密收敛上同调类（特别是在二维、三维和四维中）为模性猜想提供了证据。