[论文解读] Universal enveloping Lie Rota-Baxter algebra of preLie and post-Lie algebras

Vsevolod Gubarev|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2017

Advanced Topics in Algebra参考文献 24被引用 3

一句话总结

本文使用Lyndon-Shirshov词和部分交换基底，为预李代数和后李代数构造了通用包络李Rota-Baxter代数。证明了对 $(ρβλιε, \mathrm{pre}\mathrm{Lie})$ 和 $(ρβ_{\lambda}\mathrm{Lie}, \mathrm{post}\mathrm{Lie})$ 是PBW-对，并确立了李Rota-Baxter代数的范畴不是Schreier范畴，解决了非结合代数与普遍代数中的长期悬而未决问题。

ABSTRACT

Universal enveloping Lie Rota-Baxter algebras of pre-Lie and post-Lie algebras are constructed. It is proved that the pairs of varieties (Lie Rota-Baxter algebras of zero weight,preLie algebras) and (Lie Rota-Baxter algebras of nonzero weight,post-Lie algebras) are PBW-pairs and the variety of Lie Rota-Baxter algebras is not Schreier.

研究动机与目标

• 为预李代数和后李代数构造一个通用包络李Rota-Baxter代数。
• 确定对 $(\mathrm{RB}\mathrm{Lie}, \mathrm{pre}\mathrm{Lie})$ 和 $(\mathrm{RB}_{\lambda}\mathrm{Lie}, \mathrm{post}\mathrm{Lie})$ 是否构成PBW-对。
• 研究李Rota-Baxter代数范畴的Schreier性质。
• 解决早期文献中提出的普遍代数与Rota-Baxter结构中的开放问题。

提出的方法

• 基于[20]中的结果，利用生成集上的自由李Rota-Baxter代数，构造通用包络李Rota-Baxter代数。
• 通过Lyndon-Shirshov词和$R$-字母的归纳法，定义自由李Rota-Baxter代数的标准基$E$。
• 在$E$的线性张成空间上引入一个乘积$*$，通过$ x \cdot y = [R(x), y] $ 和修正的括号恒等式，使其与预李和后李运算相容。
• 通过词的次数和总次数的归纳法，验证所构造代数中的雅可比恒等式。
• 利用恒等式 $[R(x), [u,v]] = [[R(x),u],v] + [u,[R(x),v]]$，证明自由RB-代数的所有基本元素均可通过基$E$线性表示，从而确保同构性。
• 利用关于非Schreier范畴和自由代数结构的已知结果，证明李Rota-Baxter代数的非Schreier性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于任意预李代数，是否存在一个通用包络李Rota-Baxter代数？如果存在，其构造方式如何？
• RQ2 对 $\lambda \neq 0$，对 $(\mathrm{RB}\mathrm{Lie}, \mathrm{pre}\mathrm{Lie})$ 和 $(\mathrm{RB}_{\lambda}\mathrm{Lie}, \mathrm{post}\mathrm{Lie})$ 是否构成PBW-对？
• RQ3 李Rota-Baxter代数的范畴是否为Schreier范畴，即自由代数的子代数是否仍为自由的？
• RQ4 预李代数与后李代数的代数结构如何与不同权的Rota-Baxter算子相关联？

主要发现

• 预李代数的通用包络李Rota-Baxter代数被构造为同一生成集上自由李Rota-Baxter代数的商代数。
• 后李代数的通用包络李Rota-Baxter代数以类似方式构造，其乘积规则经修改，涉及 $R(u)*R(v) = R(R(u)*v + u*R(v) + u*v)$。
• 对 $(\mathrm{RB}\mathrm{Lie}, \mathrm{pre}\mathrm{Lie})$ 是PBW-对，意味着通用包络代数构造保持PBW性质。
• 对 $(\mathrm{RB}_{\lambda}\mathrm{Lie}, \mathrm{post}\mathrm{Lie})$（$\lambda \neq 0$）也是PBW-对。
• 李Rota-Baxter代数的范畴不是Schreier范畴，因为自由李Rota-Baxter代数的子代数不一定是自由的。
• 由于预李代数的非Schreier性质，通过通用包络构造可推出李Rota-Baxter代数也具有非Schreier性质。