[论文解读] Universal expressiveness of variational quantum classifiers and quantum kernels for support vector machines

Jonas Jäger, Roman V. Krems|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 5

一句话总结

本文证明，通过利用 $k$-Forrelation 问题（该问题为 PromiseBQP-完全问题），变分量子分类器（VQC）和量子核支持向量机（QSVM）能够对 BQP 复杂度类中的任意问题实现通用表达能力。关键结果表明，可通过设计适当的量子核或特征映射，使这些模型高效求解任意 BQP 问题，从而表明在分类任务中存在超越经典能力的潜在量子优势。

ABSTRACT

Machine learning is considered to be one of the most promising applications of quantum computing. Therefore, the search for quantum advantage of the quantum analogues of machine learning models is a key research goal. Here, we show that variational quantum classifiers and support vector machines with quantum kernels can solve a classification problem based on the $k$-Forrelation problem, which is known to be PromiseBQP-complete. Because the PromiseBQP complexity class includes all Bounded-Error Quantum Polynomial-Time (BQP) decision problems, our results imply that there exists a feature map and a quantum kernel that make variational quantum classifiers and quantum kernel support vector machines efficient solvers for any BQP problem. Hence, this work implies that their feature map and quantum kernel, respectively, can be designed to have a quantum advantage for any classification problem that cannot be classically solved in polynomial time but contrariwise by a quantum computer.

研究动机与目标

• 建立变分量子分类器（VQC）和量子核支持向量机（QSVM）能够求解 BQP 复杂度类中任意问题。
• 证明已知为 PromiseBQP-完全问题的 $k$-Forrelation 问题，可通过适当的量子核或特征映射被 VQC 和 QSVM 高效求解。
• 表明对于经典计算机无法在多项式时间内求解但量子计算机可求解的所有问题，分类任务中存在理论上的量子优势。
• 提供一个构造性证明，表明存在一种量子核或特征映射，使 VQC 和 QSVM 成为 BQP 问题的通用求解器。

提出的方法

• 作者采用 $k$-Forrelation 问题作为量子机器学习模型的基准问题，该问题已被证明为 PromiseBQP-完全问题。
• 他们将 $k$ 限制为奇数整数 $k \geq 3$，并通过从偶数 $k$-Forrelation 到奇数 $k$-Forrelation 的多项式时间归约，证明奇数 $k$-Forrelation 仍为 PromiseBQP-完全问题。
• 该归约通过添加 $4\lceil n/2 \rceil - 1$ 个布尔函数（包括常数函数或形如 $f(x) = (-1)^{x_i x_j}$ 的函数）实现，将偶数 $k$ 实例转换为奇数 $k$ 实例。
• 该构造使用包含 $\mathrm{H}^{\otimes 2}$、$\mathrm{CZ}$ 和 SWAP 操作的量子电路模块，以在保持总函数数量为奇数的同时，保留相关性值 $\Phi$。
• 由于变换过程中 $\Phi$ 值被保留，因此 $|0\rangle^{\otimes n}$ 的量子电路振幅保持不变，从而维持了问题的承诺条件。
• 最终生成的量子电路实现了能够使 VQC 和 QSVM 高效求解 $k$-Forrelation 问题的特征映射或核函数，从而实现了对 BQP 问题的通用表达能力。

实验结果

研究问题

• RQ1 变分量子分类器（VQC）和量子核支持向量机（QSVM）能否求解 BQP 复杂度类中的任意问题？
• RQ2 已知为 PromiseBQP-完全问题的 $k$-Forrelation 问题，能否通过适当的量子核或特征映射被 VQC 和 QSVM 求解？
• RQ3 能否构造一种量子核或特征映射，使得 VQC 和 QSVM 对所有 BQP 问题均具备通用表达能力？
• RQ4 奇数 $k$-Forrelation 问题是否保留了通用 $k$-Forrelation 问题的 PromiseBQP-完全性？
• RQ5 当通过添加函数和量子电路模块将偶数 $k$ 的 $k$-Forrelation 实例转换为奇数 $k$ 实例时，相关性值 $\Phi$ 是否能够被保持？

主要发现

• 当 $k$ 为奇数且 $k \geq 3$ 时，$k$-Forrelation 问题为 PromiseBQP-完全问题，该结论通过从偶数 $k$ 实例的多项式时间归约得到证明。
• 从偶数 $k$ 到奇数 $k$ 的变换保持了相关性值 $\Phi$，确保了承诺条件（$\Phi \geq 3/5$ 对于 $\Pi_+$，$|\Phi| \leq 1/100$ 对于 $\Pi_-$）得以维持。
• 通过添加 $4\lceil n/2 \rceil - 1$ 个布尔函数（包括常数函数和 $f(x) = (-1)^{x_i x_j}$）可构建等价的奇数 $k$ 实例，同时保持量子振幅不变。
• 使用 $\mathrm{H}^{\otimes 2}$、$\mathrm{CZ}$ 和 SWAP 操作的量子电路模块确保了最终电路与原始电路等价，从而保持了 $\Phi$ 值。
• 该结果表明，存在一种量子核或特征映射，使得 VQC 和 QSVM 能够高效求解任意 BQP 问题，从而确立了其通用表达能力。
• 这为分类任务中存在量子优势提供了理论依据，因为 VQC 和 QSVM 可求解经典计算机无法在多项式时间内求解的问题，前提是 $\text{P} \neq \text{BQP}$。