[论文解读] Universal factorial Schur $P,Q$-functions and their duals

Masaki Nakagawa, Hiroshi Naruse|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2018

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 10被引用 10

一句话总结

本文在Lazard环 $\mathbb{L}$ 上引入了通用阶乘施图尔 $P,Q$-函数及其对偶，将经典施图尔函数推广至等变与广义上同调设置。通过形式群律与对称函数理论，作者将这些函数构造为经典群的循环空间的 $K$-同调的施图尔基代表，建立了与稳定格罗滕迪克多项式的关系，并通过表格推测了组合公式。

ABSTRACT

We define universal factorial Schur $P,Q$-functions and their duals, which specialize to generalized (co)-homology "Schubert basis" for loop spaces of the classical groups. We also investigate some of their properties.

研究动机与目标

• 使用Lazard环 $\mathbb{L}$ 和形式群律，将阶乘施图尔 $P,Q$-函数推广至通用设置。
• 在对称函数环中实现循环空间 $Sp(\infty)$ 和 $SO(\infty)$ 的 $K$-同调的施图尔基元素。
• 定义通用对偶函数，并通过表格推测其组合解释，与稳定格罗滕迪克多项式建立联系。
• 利用双重无穷形式变量，将Molev的对偶施图尔函数推广至通用设置。

提出的方法

• 使用 $\mathbb{L}$ 上的通用形式群律，定义 $[t|{\bf b}]^k = \prod_{i=1}^k (t \mathbin{+_F} b_i)$ 和 $[[t|{\bf b}]]^{k+1} = (t \mathbin{+_F} t)[t|{\bf b}]^k$。
• 通过 $S_n$ 上的对称化，利用 $F$-加法与逆元的比值构造 $P^\mathbb{L}_\lambda$ 和 $Q^\mathbb{L}_\lambda$。
• 引入 $\mathbb{L}$-超对称级数 $\Gamma^\mathbb{L}({\bf x}_n)$，并证明 $P^\mathbb{L}_\lambda$、$Q^\mathbb{L}_\lambda$ 属于该空间。
• 通过生成函数与差分算子定义对偶函数 $\widehat{p}^\mathbb{L}_\lambda({\bf y}|{\bf b})$、$\widehat{q}^\mathbb{L}_\lambda({\bf y}|{\bf b})$。
• 通过表格 $Tab(\lambda)$ 和 $Tab'(\lambda)$ 提出组合公式，将 $gp_\lambda({\bf y})$、$gq_\lambda({\bf y})$ 与对偶通用函数联系起来。
• 将Molev的对偶施图尔函数扩展为 $s^\mathbb{L}_\lambda({\bf x}||{\bf b}_\pm)$，利用双重无穷形式变量，并证明其零化与取值恒等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用形式群律，将阶乘施图尔 $P,Q$-函数在Lazard环 $\mathbb{L}$ 上推广至通用设置？
• RQ2 $\mathbb{L}$-超对称级数在刻画这些通用函数的对称性与稳定性方面起什么作用？
• RQ3 通用阶乘施图尔 $P,Q$-函数的对偶能否通过表格进行组合表达，并与稳定格罗滕迪克多项式相关联？
• RQ4 通用函数如何特化为 $Sp(\infty)$ 和 $SO(\infty)$ 的 $K$-同调中已知的施图尔基元素？
• RQ5 Molev对偶施图尔函数的通用推广是什么？其取值与零化性质如何？

主要发现

• 通用阶乘施图尔 $P,Q$-函数 $P^\mathbb{L}_\lambda$ 与 $Q^\mathbb{L}_\lambda$ 是在通用形式群律下，定义于 $\mathbb{L}[[{\bf b}]][[x_1,\ldots,x_n]]$ 中的对称形式级数。
• 这些函数分别属于 $\mathbb{L}$-超对称级数空间 $\Gamma^\mathbb{L}({\bf x}_n)$ 与 $\Gamma^\mathbb{L}_+({\bf x}_n)$，确保在 $t \mapsto \overline{t}$ 下的稳定性。
• 对偶通用函数 $\widehat{p}^\mathbb{L}_\lambda({\bf y}|{\bf b})$ 与 $\widehat{q}^\mathbb{L}_\lambda({\bf y}|{\bf b})$ 通过生成函数与差分算子定义。
• 对于单行分拆，猜想的组合公式 $gp_k({\bf y}) = \widehat{p}^\mathbb{L}_k({\bf y})|_{\beta=-1}$ 已被证明成立。
• 钩和公式 $gp_k({\bf y}) = \sum_{a=1}^k g_{a1^{k-a}}({\bf y})$ 已建立，将 $gp_k$ 与稳定格罗滕迪克多项式联系起来。
• 通用对偶施图尔函数 $s^\mathbb{L}_\lambda({\bf x}||{\bf b}_\pm)$ 满足零化性质：若 $\mu \not\supset \lambda$，则 $s^\mathbb{L}_\lambda(\overline{b}_{I-\mu}||{\bf b}_\pm) = 0$，且其取值为 $\lambda$ 中方框的乘积。