[论文解读] Universal finite-size gap scaling of the quantum Ising chain

Masaki Oshikawa|arXiv (Cornell University)|Oct 14, 2019

Quantum many-body systems参考文献 45被引用 5

一句话总结

本文推导了在单参数缺陷边界条件下，量子伊辛链的普适有限尺寸能隙标度函数，揭示了由于自发对称性破缺导致的能隙行为非对称性。通过1+1维马约拉纳费米子场论，表明能隙由缺陷处的束缚态和费米子宇称反转所支配，从而在缺陷强度与质量参数空间中形成非平凡的交叉相图。

ABSTRACT

I study the universal finite-size scaling function for the lowest gap of the quantum Ising chain with a one-parameter family of ``defect'' boundary conditions, which includes periodic, open, and antiperiodic boundary conditions as special cases. The universal behavior can be described by the Majorana fermion field theory in $1+1$ dimensions, with the mass proportional to the deviation from the critical point. Although the field theory appears to be symmetric with respect to the inversion of the mass (Kramers-Wannier duality), the actual gap is asymmetric, reflecting the spontaneous symmetry breaking in the ordered phase which leads to the two-fold ground-state degeneracy in the thermodynamic limit. The asymptotic ground-state degeneracy in the ordered phase is realized by (i) formation of a bound state at the defect (except for the periodic/antiperiodic boundary condition) and (ii) effective reversal of the fermion number parity in one of the sectors (except for the open boundary condition), resulting in a rather nontrivial crossover ``phase'' diagram in the space of the boundary condition (defect strength) and mass.

研究动机与目标

• 理解量子伊辛链在临界点之外的最低能隙的普适有限尺寸标度行为。
• 分析缺陷边界条件（推广周期性、开放性和反周期性）如何改变能隙标度和低能谱。
• 揭示一维量子临界系统中克勒默-万纳对偶性、自发对称性破缺与有限尺寸效应之间的相互作用。
• 推导缺陷强度与质量参数空间中的完整交叉相图，包括束缚态和宇称反转效应的出现。

提出的方法

• 将量子伊辛链映射为1+1维带有与偏离临界点成正比的质量项的自由马约拉纳费米子场论。
• 引入一个单参数的缺陷边界条件族，介于标准边界条件之间，允许非平凡的散射和束缚态形成。
• 将晶格本征方程作为递推关系求解，以识别线性无关的本征态，包括当 $ t \neq \Delta $ 时的束缚态。
• 在连续极限下应用缺陷处的匹配条件，推导透射和反射振幅，包括零能马约拉纳模存在的条件。
• 利用所得散射振幅计算有限尺寸能隙，并识别不同边界条件下普适的标度函数。
• 分析场论的对称性结构及其在有序相中的破缺，导致两重简并基态和非平凡的费米子宇称效应。

实验结果

研究问题

• RQ1 在量子伊辛链中，有限尺寸能隙标度函数在不同缺陷边界条件下如何表现？
• RQ2 尽管底层场论具有克勒默-万纳对偶性，为何能隙表现出非对称标度？
• RQ3 缺陷处的束缚态和费米子数宇称反转在低能谱中起什么作用？
• RQ4 缺陷强度与质量参数空间中的交叉相图如何由对称性破缺与有限尺寸效应的相互作用产生？
• RQ5 在何种条件下缺陷处会出现马约拉纳零能模，它们与透射振幅有何关联？

主要发现

• 有限尺寸能隙标度是普适的，由1+1维带有与距临界点距离成正比的质量项的马约拉纳费米子场论所支配。
• 尽管场论具有克勒默-万纳对偶性，实际能隙仍因有序相中的自发对称性破缺而呈现非对称性。
• 在有序相中，两重基态简并通过以下方式产生：(i) 除周期性/反周期性条件外，缺陷处的束缚态形成；(ii) 除开放边界外，某一区域的等效费米子宇称反转。
• 当 $ t\cos\phi_1 + \Delta\cos\phi_2 = 0 $ 时，透射振幅 $ T $ 消失，表明缺陷处存在马约拉纳零能模。
• 当 $ t \neq \Delta $ 时，每个能级存在四个线性无关的本征态，表明存在超出平面波的额外束缚态样模。
• 系统在缺陷强度与质量参数空间中表现出非平凡的交叉相图，其不同物理区域由束缚态和宇称效应主导。