[论文解读] Universal fluctuations and ergodicity of generalized diffusivity on critical percolation clusters

Adrian Pacheco-Pozo, Igor M. Sokolov|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2022

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 28被引用 3

一句话总结

本研究通过大规模数值模拟，研究了临界渗透网络上的亚扩散输运行为，揭示了尽管缺乏自平均性，不同实现之间均存在普遍波动的均方位移（MSD）。研究表明，虽然时间平均MSD表现出遍历性，但相对波动随轨迹长度的独特衰减行为，可将由无序引起的亚扩散与具有相同赫斯特指数的分数布朗运动区分开来。

ABSTRACT

Despite a long history and a clear overall understanding of properties of random walks on an incipient infinite cluster in percolation, some important information on it seems to be missing in the literature. In the present work, we revisit the problem by performing massive numerical simulations for (sub)diffusion of particles on such clusters. Thus, we discuss the shape of the probability density function (PDF) of particles' displacements, and the way it converges to its long-time limiting scaling form. Moreover, we discuss the properties of the mean squared displacement (MSD) of a particle diffusing on the infinite cluster at criticality. This one is known not to be self-averaging. We show that the fluctuations of the MSD in different realizations of the cluster are universal, and discuss the properties of the distribution of these fluctuations. These strong fluctuations coexist with the ergodicity of subdiffusive behavior in the time domain. The dependence of the relative strength of fluctuations in time-averaged MSD on the total trajectory length (total simulation time) is characteristic for diffusion in a percolation system and can be used as an additional test to distinguish this process with disorder-induced memory from processes with otherwise similar behavior, like fractional Brownian motion with the same value of the Hurst exponent.

研究动机与目标

• 研究临界点处初始无限渗透簇上亚扩散的遍历性与统计特性。
• 分析此类系统中粒子位移概率密度函数（PDF）的形状与收敛行为。
• 表征均方位移（MSD）在不同簇实现之间的非自平均性质。
• 确定MSD波动统计是否具有普遍性，以及其如何依赖于轨迹长度。
• 通过时间平均MSD中相对波动的衰减，将无序诱导的亚扩散与分数布朗运动等具有记忆特性的过程区分开来。

提出的方法

• 在二维正方形格点的键渗透临界点（p = 0.5）上执行大规模连续时间随机游走的数值模拟。
• 使用Hoshen-Kopelman算法在每次实现中识别并分离出无限簇与有限簇。
• 采用Gillespie算法模拟具有指数分布等待时间与最近邻跳跃的粒子轨迹。
• 计算单条轨迹的时间平均MSD（TAMSD）与热历史MSD，以及系综平均量。
• 通过分析1000至5000个独立簇实现中MSD值的分布，评估波动的普遍性。
• 将TAMSD中相对波动的衰减行为与具有相同赫斯特指数的分数布朗运动进行比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 在临界渗透簇上的亚扩散中，粒子位移的概率密度函数（PDF）如何演化并收敛至其标度形式？
• RQ2 在相同簇的不同实现中，均方位移（MSD）的波动程度如何？这些波动是否具有普遍性？
• RQ3 MSD缺乏自平均性是否与时间平均MSD的时域遍历性共存？
• RQ4 时间平均MSD中相对波动的衰减如何依赖于总轨迹长度？该行为能否用于区分渗透诱导的亚扩散与分数布朗运动？
• RQ5 由于普遍性，广义扩散系数（通过MSD波动表征）的统计特性是否独立于晶格类型或蚂蚁模型（近视型 vs. 盲目型）？

主要发现

• 粒子位移的PDF通过中心峰的收窄收敛至其标度形式，这是强空间无序系统特有的特征。
• 在渗透簇的单个实现中，MSD表现出强烈的、非自平均的波动，且在固定时间下MSD值的分布对不同簇具有普遍性。
• 尽管缺乏自平均性，时间平均MSD仍保持遍历性，表明长时间下时间平均收敛至相同的系综平均值。
• 时间平均MSD中相对波动的衰减行为与具有相同赫斯特指数的分数布朗运动不同，为无序诱导的亚扩散提供了诊断性特征。
• MSD的波动统计具有普遍性，且独立于渗透类型（键型 vs. 点型）或蚂蚁模型（近视型或盲目型），证实了在这些变体中的普遍性。
• 时间依赖的广义扩散系数K(t) = ⟨x²(t)⟩/t²/dw的分布随时间趋于不变，这是由于簇的自相似结构导致无特征尺度，从而确认了该特性。