[论文解读] Universal Groebner bases and Cartwright-Sturmfels ideals

Aldo Conca, Emanuela De Negri+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 31, 2016

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 12被引用 4

一句话总结

本文引入了Cartwright-Sturmfels与Cartwright-Sturmfels ∗ 理想——一类具有根式通用初始理想及唯一生成性质的多齐次多项式理想。证明了这些理想在多齐次超平面截面下封闭，并表明由多齐次线性形式矩阵的极大子式与2-子式生成的理想属于此类，从而表明它们是根式理想，具有线性解析，并存在有界次数的通用Gröbner基。

ABSTRACT

We describe the universal Groebner basis of the ideal of maximal minors and the ideal of $2$-minors of a multigraded matrix of linear forms. Our results imply that the ideals are radical and provide bounds on the regularity. In particular, the ideals of maximal minors have linear resolutions. Our main theoretical contribution consists of introducing two new classes of ideals named after Cartwright and Sturmfels, and proving that they are closed under multigraded hyperplane sections. The gins of the ideals that we study enjoy special properties.

研究动机与目标

• 定义并研究两类新的多齐次理想——Cartwright-Sturmfels与Cartwright-Sturmfels ∗——其特征由其通用初始理想性质决定。
• 证明这些类在取超平面截面及与多齐次线性形式取商理想运算下封闭。
• 证明由多齐次线性形式矩阵的极大子式与2-子式生成的理想属于Cartwright-Sturmfels类，从而表明它们是根式理想且具有线性解析。
• 为这些理想建立Castelnuovo-Mumford正则性与投影维数的界。
• 证明此类理想的通用Gröbner基由有界多总度元素构成，并在列-齐次与行-齐次情形下给出明确的度数界。

提出的方法

• 将Cartwright-Sturmfels理想定义为具有根式多齐次通用初始理想的理想。
• 通过其通用初始理想在每个多总度下仅含一个变量的生成元系统，定义Cartwright-Sturmfels ∗ 理想。
• 证明此类理想的通用初始理想与项序无关，从而确保其在Gröbner基计算下的稳定性。
• 使用归纳法与消去序技术，证明其在与多齐次线性形式取模与商理想运算下封闭。
• 应用关于行列式理想的已知结果（例如来自[9]、[8]），证明由变量矩阵的极大子式与2-子式生成的理想属于此类。
• 利用多齐次矩阵的像与多项式环商的同构关系，将性质从变量矩阵情形推广至一般情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 由多齐次线性形式矩阵的极大子式与2-子式生成的理想是否具有有界多总度的通用Gröbner基？
• RQ2 此类理想的通用初始理想是否与项序无关？其是否保持根式性与线性解析性质？
• RQ3 Cartwright-Sturmfels与Cartwright-Sturmfels ∗ 理想类是否在多齐次超平面截面与商理想运算下封闭？
• RQ4 在多齐次设定下，这些理想的Castelnuovo-Mumford正则性与投影维数的界是什么？
• RQ5 行列式理想在极化与Alexander对偶下，其多齐次通用初始理想如何行为？

主要发现

• 列-齐次或行-齐次线性形式矩阵的极大子式理想为Cartwright-Sturmfels理想，因此是根式理想且具有线性解析。
• 此类矩阵的2-子式理想亦为Cartwright-Sturmfels理想，因此是根式理想，且所有初始理想也均为根式理想。
• 在列-齐次情形下，极大子式构成一个通用Gröbner基，且所有初始理想均由多总度(1,…,1)的元素生成。
• 在行-齐次情形下，极大子式构成一个由多总度∑_{i=1}^m e_i 元素组成的通用Gröbner基。
• ℤ^v-齐次Cartwright-Sturmfels理想之Castelnuovo-Mumford正则性有界于v，且ℤ^v-齐次Cartwright-Sturmfels ∗ 理想之投影维数亦有界于v。
• 两族中的平方自由单项式理想互为Alexander对偶，其通用初始理想通过极化与Alexander对偶相互关联。