[论文解读] Universal Malliavin Calculus in Fock and Lévy-Itô Spaces

David Applebaum|ArXiv.org|Aug 19, 2008

Stochastic processes and financial applications参考文献 14被引用 6

一句话总结

本文在一般希尔伯特空间上的福克空间中构建了通用的马里亚文微积分，确立了具有精确定义域的抽象梯度与散度算子，并证明了范数的L²等价性。它证明了抽象的伊藤-斯科罗霍德等距关系，并通过一种对偶变换将莱维过程与福克空间关联起来，从而实现了从抽象算子到随机微积分的结构性质转移，导出了莱维过程在最大定义域上马里亚文导数与散度算子的关键性质。

ABSTRACT

We review and extend Lindsay's work on abstract gradient and divergence operators in Fock space over a general complex Hilbert space. Precise expressions for the domains are given, the $L^2$-equivalence of norms is proved and an abstract version of the Itô-Skorohod isometry is established. We then outline a new proof of Itô's chaos expansion of complex Lévy-Itô space in terms of multiple Wiener-Lévy integrals based on Brownian motion and a compensated Poisson random measure. The duality transform now identifies Lévy-Itô space as a Fock space. We can then easily obtain key properties of the gradient and divergence of a general Lévy process. In particular we establish maximal domains of these operators and obtain the Itô-Skorohod isometry on its maximal domain.

研究动机与目标

• 在一般希尔伯特空间上的福克空间中发展一种与具体概率模型无关的通用马里亚文微积分。
• 通过完整证明定义域表征、范数等价性与等距性质，扩展林德赛的抽象梯度与散度算子。
• 建立一种对偶变换，将莱维-伊藤空间与福克空间相联系，从而实现从抽象算子到随机微积分的结构性质转移。
• 在散度算子的最大定义域上，为莱维过程推导出伊藤-斯科罗霍德等距关系。
• 通过福克空间同构，为任意具有混沌表示性质的过程（包括莱维过程）提供统一的马里亚文微积分框架。

提出的方法

• 在一般复希尔伯特空间上的福克空间中定义通用的湮灭与产生算子（∇⁻ 与 ∇⁺），并明确指定其定义域。
• 通过证明 (I + N)⁻¹ᐟ² 是 L² 空间与一阶索伯列夫空间 D²₁ 之间的酉同构，建立范数的 L² 等价性。
• 为 ∇⁺ 建立抽象的伊藤-斯科罗霍德等距关系，推广经典非预测随机微积分中的等距关系。
• 利用对偶变换 U 将莱维-伊藤空间与福克空间相联系，将多重维纳-莱维积分映射为福克空间向量。
• 利用莱维-伊藤分解中布朗运动与泊松成分的独立性结构，将梯度、散度与数算子分解为张量积形式。
• 应用分解后的算子，以公式 (5.31) 的形式推导出伊藤-斯科罗霍德等距关系，对所有 X, Y ∈ D²₁(H) 成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在一般希尔伯特空间上的福克空间中严格定义抽象梯度与散度算子，并明确其定义域？
• RQ2 抽象的伊藤-斯科罗霍德等距关系与随机微积分中经典等距关系之间的确切关系是什么？
• RQ3 对偶变换 U 如何将莱维-伊藤空间与福克空间相联系？在该同构下，哪些结构性质被保持？
• RQ4 莱维过程的马里亚文导数与散度算子的最大定义域是什么？它们与抽象算子之间有何关系？
• RQ5 能否通过福克空间方法推导出莱维过程的混沌分解？该框架是否统一了高斯过程与跳跃型过程的处理方式？

主要发现

• 抽象湮灭算子 ∇⁻ 的最大定义域通过涉及数算子的平方可积范数的福克空间向量予以表征。
• 通过证明 (I + N)⁻¹ᐟ² 是 L² 空间与一阶索伯列夫空间 D²₁ 之间的酉同构，确立了范数的 L² 等价性。
• 为通用产生算子 ∇⁺ 证明了抽象的伊藤-斯科罗霍德等距关系，将经典等距关系推广至抽象福克空间设定。
• 对偶变换 U 将莱维-伊藤空间与福克空间相联系，使得抽象算子的性质能够被转移到随机设定中。
• 莱维过程的梯度与散度算子被分解为布朗运动与泊松成分的张量积形式，其中在适当定义域上 δ = (δB ⊗ I)π*₁ + (I ⊗ δN)π*₂。
• 伊藤-斯科罗霍德等距关系以如下形式恢复：E(δ(X)δ(Y)) = ∫S E(X(s)Y(s))μ(ds) + ∫S∫S E(DtX(s)DsY(t))μ(ds)μ(dt)，对所有 X, Y ∈ D²₁(H) 成立。