[论文解读] Universal Padé approximants on simply connected domains

Nicholas J. Daras, Grigorios Fournodavlos+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2015

Holomorphic and Operator Theory参考文献 5被引用 5

一句话总结

本文建立了复平面上单连通区域上佩德罗近似（Padé approximants）的首个通用性结果。利用贝尔纲定理，证明了在 $ A(\Omega) $ 中具有稠密 $ G_\delta $ 的全纯函数集合中，存在子序列的佩德罗近似在度数递增时，能在任意紧集 $ K \subset \mathbb{C} \setminus \overline{\Omega} $ 上一致逼近任意多项式，其中 $ K $ 的补集连通；同时，若 $ \Omega $ 满足特定拓扑条件，则该近似也在 $ \Omega $ 的紧子集上一致逼近函数本身。

ABSTRACT

The theory of universal Taylor series can be extended to the case of Padé approximants where the universal approximation is not realized by polynomials any more, but by rational functions, namely the Padé approximants of some power series. We present the first generic result in this direction, for Padé approximants corresponding to Taylor developments of holomorphic functions in simply connected domains. The universal approximation is required only on compact sets $K$ which lie outside the domain of definition and have connected complement. If the sets $K$ are additionally disjoint from the boundary of the domain of definition, then the universal functions can be smooth on the boundary.

研究动机与目标

• 将全纯泰勒级数的通用性理论推广至单连通区域中的佩德罗近似。
• 建立全纯函数的存在性，其佩德罗近似可在区域外部的紧集上普遍逼近多项式。
• 确保当逼近集与 $ \partial\Omega $ 不相交时，通用函数可光滑延拓至边界。
• 利用拓扑通用性，证明此类通用函数存在于 $ A(\Omega) $ 的一个稠密 $ G_\delta $ 子集中。

提出的方法

• 在全纯函数空间 $ A(\Omega) $（在 $ \overline{\Omega} $ 上连续，按紧致收敛）上应用贝尔纲定理。
• 定义一族 $ \mathfrak{F} \subset \mathbb{N} \times \mathbb{N} $，包含满足 $ \tilde{p}_n \to \infty $ 的序列 $ (\tilde{p}_n, \tilde{q}_n) $，以生成佩德罗近似。
• 构造一列紧集 $ K_m \subset \mathbb{C} \setminus \overline{\Omega} $，其补集连通，且 exhausting $ \mathbb{C} \setminus \overline{\Omega} $，类似地构造 $ L_m \subset \Omega $ 的紧子集。
• 利用 $ A(\Omega) $ 的完备性及贝尔纲定理，证明通用函数集合是稠密且 $ G_\delta $。
• 证明对于此类函数，佩德罗近似 $ [p_n/q_n]_{f,\zeta} $ 在 $ K $ 上一致收敛于任意多项式 $ P $，且在 $ \Omega $ 的紧子集上一致收敛于 $ f(z) $。
• 当 $ K $ 与 $ \partial\Omega $ 不相交时，确保通用函数可连续延拓至 $ \overline{\Omega} $，条件为 $ \{\infty\} \cup (\mathbb{C} \setminus \overline{\Omega}) $ 连通。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $ A(\Omega) $ 中的泛用全纯函数，佩德罗近似是否能在单连通区域 $ \Omega $ 外的紧集上普遍逼近多项式？
• RQ2 在何种条件下可选取通用函数使其连续延拓至闭包 $ \overline{\Omega} $？
• RQ3 能否使用同一组佩德罗近似序列，同时逼近 $ \mathbb{C} \setminus \overline{\Omega} $ 上的多项式与 $ \Omega $ 上的函数本身？
• RQ4 集合 $ \mathbb{C} \setminus \overline{\Omega} $ 的拓扑结构，特别是 $ \{\infty\} \cup (\mathbb{C} \setminus \overline{\Omega}) $ 的连通性，如何影响通用佩德罗近似的存在性？
• RQ5 通用逼近是否可扩展至 $ \Omega $ 的紧子集，而不仅限于边界？

主要发现

• 对于任意满足 $ \{\infty\} \cup (\mathbb{C} \setminus \overline{\Omega}) $ 连通且 $ \overline{\Omega}^o = \Omega $ 的单连通区域 $ \Omega \subset \mathbb{C} $，存在 $ A(\Omega) $ 中的稠密 $ G_\delta $ 函数集合，使得其佩德罗近似 $ [p_n/q_n]_{f,\zeta} $ 在任意紧集 $ K \subset \mathbb{C} \setminus \overline{\Omega} $ 上一致逼近任意多项式 $ P $，其中 $ K $ 的补集连通。
• 当紧集 $ K $ 与 $ \partial\Omega $ 不相交时，可选取通用函数 $ f $ 延拓为 $ \overline{\Omega} $ 上的连续函数，且近似在 $ \Omega $ 的紧子集上一致收敛于 $ f $。
• 在相同序列 $ (p_n, q_n) $ 下，佩德罗近似对紧子集 $ L \subset \Omega $ 上的变量 $ z \in L $ 和中心 $ \zeta \in L $ 均一致收敛于通用函数 $ f $。
• 此类通用函数的集合在 $ A(\Omega) $ 中稠密且为 $ G_\delta $，表明其在拓扑意义下具有通用性。
• 该结果在所有单连通区域 $ G \subset \mathbb{C} \setminus \overline{\Omega} $ 上一致成立，可通过魏尔斯特拉斯定理保证所有导数的收敛性。
• 该结果无法推广至非多项式函数 $ P \in A(K) $，如注记 3.6 所述。