[论文解读] Universal Polar Codes

S. Hamed Hassani, Rüdiger Urbanke|arXiv (Cornell University)|Jul 27, 2013

Error Correcting Code Techniques参考文献 17被引用 14

一句话总结

本文提出了两种通用极化编码方案，可在低复杂度译码下实现所有二元输入、记忆性输出对称（BMS）信道的复合容量。第一种方案通过堆叠的‘阶梯’结构将极化码与里德-所罗门码结合，第二种方案通过改进的极化步骤使多个信道中的好指标对齐，两者均在增加码长的前提下实现了可管理的复杂度与通用性能。

ABSTRACT

Polar codes, invented by Arikan in 2009, are known to achieve the capacity of any binary-input memoryless output-symmetric channel. One of the few drawbacks of the original polar code construction is that it is not universal. This means that the code has to be tailored to the channel if we want to transmit close to capacity. We present two "polar-like" schemes which are capable of achieving the compound capacity of the whole class of binary-input memoryless output-symmetric channels with low complexity. Roughly speaking, for the first scheme we stack up $N$ polar blocks of length $N$ on top of each other but shift them with respect to each other so that they form a "staircase." Coding then across the columns of this staircase with a standard Reed-Solomon code, we can achieve the compound capacity using a standard successive decoder to process the rows (the polar codes) and in addition a standard Reed-Solomon erasure decoder to process the columns. Compared to standard polar codes this scheme has essentially the same complexity per bit but a block length which is larger by a factor $O(N \log_2(N)/ε)$, where $ε$ is the gap to capacity. For the second scheme we first show how to construct a true polar code which achieves the compound capacity for a finite number of channels. We achieve this by introducing special "polarization" steps which "align" the good indices for the various channels. We then show how to exploit the compactness of the space of binary-input memoryless output-symmetric channels to reduce the compound capacity problem for this class to a compound capacity problem for a finite set of channels. This scheme is similar in spirit to standard polar codes, but the price for universality is a considerably larger blocklength. We close with what we consider to be some interesting open problems.

研究动机与目标

• 为解决标准极化码缺乏通用性的问题，后者需针对特定信道设计才能达到容量。
• 开发低复杂度编码方案，实现在整个BMS信道类上的复合容量可靠传输。
• 克服标准极化码中连续取消译码的局限性，后者无法达到无限制的复合容量。
• 实现在不事先知晓确切信道的情况下可靠通信，仅假设其属于已知的BMS信道集合。
• 探索是否可在单一统一构造中同时实现极化与通用性，而非分两个独立阶段。

提出的方法

• 通过将N个长度为N的极化码块相互错位堆叠，形成类似矩阵的结构，构建‘阶梯’结构。
• 在阶梯结构的列上应用标准里德-所罗门码以纠正删除，同时在行上使用连续取消译码（极化码）。
• 使用Wasserstein度量将BMS信道空间离散化为K(ε)个代表性信道，使得任意目标信道与其中之一的距离不超过δ。
• 修改信道密度，确保代表性信道与该类中所有其他信道之间具有退化关系，同时将容量损失控制在ε以内。
• 引入两阶段极化过程：首先针对单个信道进行极化，然后通过额外步骤使所有信道中的好指标对齐，以实现通用性。
• 利用BMS信道空间的紧致性，将无限复合容量问题简化为有限个信道的集合，从而实现真正的极化码构造。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否修改极化码，使其在低复杂度连续译码下实现所有BMS信道的复合容量？
• RQ2 标准极化码缺乏通用性是源于码结构本身，还是源于次优的连续译码器？
• RQ3 能否设计一种单一编码方案，既在所有BMS信道上实现可靠性能，又保持低计算复杂度？
• RQ4 与标准极化码相比，通用极化码的码长开销是否可以减少？
• RQ5 是否能够将极化与确保通用性的步骤统一为一个更高效的单一构造？

主要发现

• 第一种方案的码长相比单个信道的标准极化码增加了O(N log₂(N)/ε)的因子，但可实现复合容量。
• 第二种方案通过专门设计的极化步骤，使多个信道中的好指标对齐，构建出真正意义上的极化码，从而实现复合容量。
• 码长增加源于需确保在信道类中所有信道上均表现良好，但每比特的复杂度与标准极化码相当。
• Wasserstein度量使得连续的BMS信道空间可被离散化为K(ε)个信道，使得任意信道与其中之一的距离不超过δ。
• 由于离散化导致的容量损失被限制在h₂(3/2 √δ)以内，通过选择足够精细的离散化可使其任意小。
• 两种方案均表明，在低复杂度译码下，极化码的通用性是可实现的，尽管与非通用极化码相比码长有所增加。