[论文解读] Universal Probability Distribution for the Wave Function of an Open Quantum System

Sheldon Goldstein, Joel L. Lebowitz+3 more|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2011

Quantum Mechanics and Applications被引用 3

一句话总结

本文证明，从开放量子系统与其大环境的纠缠态中导出的条件波函数 ψ₁，通常遵循一种称为 GAP 测度的通用概率分布。对于具有给定约化密度矩阵 ρ₁ 的典型纠缠态，ψ₁ 的分布 µ₁ 接近 GAP(ρ₁)；在弱耦合和窄能窗条件下，其趋近于 GAP(ρβ)，其中 ρβ 为规范热密度矩阵，从而为将 GAP(ρβ) 视为热平衡分布提供了依据。

ABSTRACT

An open quantum system (i.e., one that interacts with its environment) is almost always entangled with its environment; it is therefore usually not attributed a wave function but only a reduced density matrix ρ. Nevertheless, there is a precise way of attributing to it a wave function ψ1, called its conditional wave function, which is a random wave function of the system whose probability distribution µ1 depends on the entangled wave function ψ ∈ H1 ⊗ H2 in the Hilbert space of system and environment together. We prove several universality (or typicality) results about µ1; they show that if the environment is sufficiently large then µ1 does not depend much on the details of ψ and is approximately given by one of the so-called GAP measures. Specifically, for most entangled states ψ with given reduced density matrix ρ1, µ1 is close to GAP (ρ1). We also show that, if the coupling between the system and the environment is weak, then for most entangled states ψ from a microcanonical subspace corresponding to energies in a narrow interval [E, E + δE] (and most bases of H2), µ1 is close to GAP (ρβ) with ρβ the canonical density matrix on H1 at inverse temperature β = β(E). This provides the mathematical justification of the claim that GAP (ρβ) is the thermal equilibrium distribution of ψ1.

研究动机与目标

• 理解开放量子系统在与环境纠缠时，条件波函数 ψ₁ 的概率分布。
• 确定该分布是否依赖于总纠缠态 ψ 的具体细节，还是具有普遍性。
• 从数学上证明，对于具有固定 ρ₁ 的典型纠缠态，ψ₁ 的分布 µ₁ 收敛于 GAP(ρ₁)。
• 研究在弱耦合和窄能窗条件下，µ₁ 是否趋近于热规范分布 GAP(ρβ)，其中 ρβ 为逆温度 β 处的规范密度矩阵。
• 为“GAP(ρβ) 是系统波函数的热平衡分布”这一说法提供严格的理论基础。

提出的方法

• 将条件波函数 ψ₁ 定义为从全局纠缠态 ψ ∈ H₁ ⊗ H₂ 导出的 H₁ 中的随机向量。
• 利用玻恩规则，定义由全局态 ψ 所诱导的 ψ₁ 的概率分布 µ₁。
• 应用量子统计力学中的典型性论证，表明对于具有固定约化密度矩阵 ρ₁ 的大多数全局态 ψ，分布 µ₁ 接近 GAP(ρ₁)。
• 引入一个能量位于 [E, E + δE] 区间内的全局态微正则子空间，并考虑该子空间中的典型态。
• 证明在系统-环境耦合较弱且 H₂ 的基为典型时，ψ₁ 的分布 µ₁ 接近 GAP(ρβ)，其中 ρβ 为在逆温度 β = β(E) 下的规范密度矩阵。
• 利用高维希尔伯特空间的测度集中性，证明 GAP 测度的普遍性与典型性。

实验结果

研究问题

• RQ1 条件波函数 ψ₁ 的概率分布 µ₁ 是否依赖于纠缠全局态 ψ 的具体形式，还是在固定 ρ₁ 时具有普遍性？
• RQ2 对于具有给定约化密度矩阵 ρ₁ 的典型纠缠态，分布 µ₁ 是否接近 GAP 测度 GAP(ρ₁)？
• RQ3 在弱耦合和窄能窗条件下，µ₁ 是否趋近于热 GAP 测度 GAP(ρβ)，其中 ρβ 为逆温度 β 处的规范密度矩阵？
• RQ4 GAP(ρβ) 分布是否为开放量子系统中 ψ₁ 的普遍平衡分布？
• RQ5 能否利用高维量子态集中性，严格证明 µ₁ 的典型性？

主要发现

• 对于具有固定约化密度矩阵 ρ₁ 的大多数纠缠全局态 ψ，条件波函数 ψ₁ 的分布 µ₁ 接近 GAP 测度 GAP(ρ₁)。
• 当系统-环境耦合较弱且 ψ 从能量区间 [E, E + δE] 的微正则子空间中选取时，分布 µ₁ 接近 GAP(ρβ)，其中 β = β(E) 为对应于能量 E 的逆温度。
• µ₁ 收敛于 GAP(ρβ) 的结果对微正则子空间中的大多数全局态 ψ 及 H₂ 的大多数基均成立。
• 该结果为“GAP(ρβ) 是开放量子系统中系统波函数的热平衡分布”这一说法提供了严格的理论依据。
• GAP 测度的普遍性源于高维希尔伯特空间中的典型性，与纠缠态 ψ 的具体细节无关。