[论文解读] Universal Proof Theory: Semi-analytic Rules and Uniform Interpolation

Amirhossein Akbar Tabatabai, Raheleh Jalali|arXiv (Cornell University)|Aug 19, 2018

Logic, programming, and type systems参考文献 5被引用 7

一句话总结

本文建立了基于半分析规则的终止多结论sequent演算与子结构逻辑及模态逻辑中统一插值性质之间的广义联系。证明了任何使用聚焦公理和多结论半分析规则的终止演算系统——如 $\mathbf{FL_e}$, $\mathbf{FL_{ew}}$, $\mathbf{CFL_e}$, $\mathbf{CFL_{ew}}$, $\mathbf{IPC}$, $\mathbf{CPC}$ 及其 $\mathbf{K}$ 与 $\mathbf{KD}$ 扩展——均具有统一插值性质；同时表明，除非某逻辑也具备统一插值性质，否则其任何 $\mathbf{FL_e}$ 扩展都无法拥有此类终止演算系统，从而排除了 $\mathbf{K4}$ 和 $\mathbf{S4}$ 等逻辑拥有合理终止演算的可能性。

ABSTRACT

In \cite{Craig}, we introduced a syntactically defined and highly general class of calculi known as \emph{semi-analytic}. We then demonstrated that any sufficiently strong (modal) substructural logic with a semi-analytic calculus must satisfy the Craig interpolation property. In this paper, we show that if the calculus is also terminating in a certain formal sense, then its logic has the Uniform Interpolation Property (UIP). This result has significant applications. On the positive side, it provides a uniform and modular method for proving UIP for various logics, including $\mathsf{FL_e}$, $\mathsf{FL_{ew}}$, $\mathsf{CFL_e}$, $\mathsf{CFL_{ew}}$, and their $K$, $D$, and $T$-type modal extensions, as well as $\mathsf{CPC}$, $\mathsf{K}$, and $\mathsf{KD}$. However, its more striking consequence lies in the negative direction. It extends the negative results of \cite{Craig} to logics with CIP but without UIP. In particular, it shows that the modal logics $\mathsf{K4}$ and $\mathsf{S4}$ do not have a terminating semi-analytic calculus. extbf{keywords:} Uniform interpolation, Sequent calculi, Substructural logics, Modal logics, Subexponential modalities

研究动机与目标

• 将Iemhoff关于终止sequent演算与统一插值性质之间关系的研究推广至子结构逻辑与模态逻辑。
• 将规则类别的范围从聚焦规则扩展至包含多结论半分析规则。
• 为在广泛范围内的命题逻辑与模态逻辑中统一证明统一插值性质提供一种统一方法。
• 建立负面结果，表明某些逻辑若不具有统一插值性质，则无法拥有特定类型规则的终止演算。
• 通过以逻辑正则性条件刻画终止演算的存在性，为普遍证明理论奠定基础。

提出的方法

• 引入多结论半分析规则的概念，该规则通过允许多个结论，同时保持公式出现和附加条件的结构约束，从而在广义上推广聚焦规则。
• 将聚焦公理定义为满足附加条件约束的原子公式，以确保其与演算的终止性及统一插值机制相容。
• 在终止演算中对公式复杂度进行归纳，通过利用演算终止性所诱导的良基序，构造任意公式的统一插值项。
• 证明：对于任意sequent，其统一插值项的存在性可通过递归应用半分析规则与结构规则（如 $(L\to)$, $(R\to)$, $(R\vee)$）以及模态规则 $K$ 和 $D$ 推导得出。
• 借助先前工作的定理（如 [7], [8]），将直觉逻辑中的结果推广至子结构与模态设定，利用演算的终止性与规则结构确保统一性。
• 通过验证其标准演算是否满足所需条件（即半分析规则、聚焦公理与终止性，尤其在无收缩规则时）将结果应用于具体逻辑。

实验结果

研究问题

• RQ1 终止sequent演算与统一插值性质之间的关系能否从超直觉逻辑推广至子结构与模态逻辑？
• RQ2 哪类规则可广义化聚焦规则，同时保持在终止演算中推导统一插值项的能力？
• RQ3 哪些逻辑可通过该广义框架被证明具备统一插值性质？
• RQ4 是否存在某些逻辑，若其本身不具备统一插值性质，则无法拥有包含半分析规则与聚焦公理的终止sequent演算？
• RQ5 该框架能否系统性地排除某些逻辑（如 $\mathbf{K4}$ 与 $\mathbf{S4}$）拥有合理终止演算的可能性？

主要发现

• 任何扩展 $\mathbf{CFL_e}$ 的终止多结论sequent演算，若由聚焦公理与多结论半分析规则构成，则具有强 $H$-统一插值性质。
• $\mathbf{CFL_e}$, $\mathbf{CFL_{ew}}$, $\mathbf{CPC}$ 及其 $\mathbf{K}$ 与 $\mathbf{KD}$ 模态扩展均具有统一插值性质。
• $\mathbf{CFL_e}$, $\mathbf{CFL_{ew}}$, $\mathbf{CPC}$ 的标准无收缩演算因其半分析规则与聚焦公理而满足统一插值的条件。
• 任何 $\mathbf{FL_e}$ 的扩展若要拥有由半分析规则与上下文共享半分析规则及聚焦公理构成的终止sequent演算，则必须已具备统一插值性质。
• $\mathbf{K4}$ 与 $\mathbf{S4}$ 无法拥有包含单结论或多结论半分析规则及聚焦公理的终止sequent演算。
• 除 $\mathbf{IPC}$, $\mathbf{LC}$, $\mathbf{KC}$, $\mathbf{Bd_2}$, $\mathbf{Sm}$, $\mathbf{GSc}$, $\mathbf{CPC}$ 外，任何超直觉逻辑均无法拥有此类终止演算。