[论文解读] Universal properties of penetrative turbulent Rayleigh--B\'enard convection in cold water near $4^\circ m{C}$

Wang, Qi, Reiter, Philipp+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 16, 2020

Fluid Dynamics and Turbulent Flows被引用 16

一句话总结

本研究探讨了在接近4°C的冷水中穿透性湍流瑞利-贝纳德对流，其中水的密度极大值导致一种新型控制参数——密度反转参数θm。理论推导并数值验证了与瑞利数Ra无关的通用关系θc(θm) = (1 + θm²)/2，用于描述中高温度，该关系在Ra相关的临界θm,c处出现急剧下降，并建立了与热传输相关的通用标度Nu(θm)/Nu(0)。

ABSTRACT

Penetrative turbulence, which occurs in a convectively unstable fluid layer and penetrates into an adjacent, originally stably stratified layer, is numerically and theoretically analyzed. We chose the most relevant example, namely thermally driven flow of water with a temperature around $T_m\approx 4^\circ m{C}$, where it has its density maximum. We pick the Rayleigh-B\'enard geometry with the bottom plate temperature $T_b > 4^\circ m{C}$ and the top plate temperature $T_t \le 4^\circ m{C}$. Next to the overall thermal driving strength set by the temperature difference $\Delta = T_b - T_t$ (the Rayleigh number $Ra$ in dimensionless form), the crucial new control parameter as compared to standard Rayleigh-B\'enard convection is the density inversion parameter $ heta_m \equiv (T_m - T_t ) / \Delta$. The crucial response parameters are the relative mean mid-height temperature $ heta_c$ and the overall heat transfer (i.e., the Nusselt number $Nu$). We theoretically derive the universal (i.e., $Ra$-independent) dependence $ heta_c ( heta_m) =(1+ heta_m^2)/2$, which holds for $ heta_m$ below a $Ra$-dependent critical value, beyond which $ heta_c ( heta_m)$ sharply decreases and drops down to $ heta_c=1/2$ at $ heta_m= heta_{m,c}$. Our direct numerical simulations with $Ra$ up to $10^{10}$ are consistent with these results. The critical density inversion parameter $ heta_{m,c}$ can be precisely predicted by a linear stability analysis. The heat flux $Nu( heta_m)$ monotonically decreases with increasing $ heta_m$ and we can theoretically derive a universal relation for the relative heat flux $Nu( heta_m)/Nu(0)$. Finally, we numerically identify and discuss rare transitions between different turbulent flow states for large $ heta_m$.

研究动机与目标

• 理解水在4°C时密度极大值对湍流瑞利-贝纳德对流的影响。
• 识别并分析密度反转参数θm = (Tm − Tt)/∆在穿透性对流中作为新控制参数的作用。
• 推导并验证与瑞利数Ra无关的中高温度θc和热传输Nu(θm)的通用标度律。
• 利用直接数值模拟探索高θm值下罕见的湍流流态转变。

提出的方法

• 采用二阶有限差分代码（AFiD）进行二维和三维瑞利-贝纳德对流的数值模拟，边界条件为周期性水平方向和无滑移等温边界条件。
• 以H和Uf = (gα∆qH)1/2作为参考长度和速度进行无量纲化，温度以θ = (T − Tt)/∆进行归一化。
• 控制方程包括包含非线性浮力力|θ − θm|q ez的不可压缩纳维-斯托克斯方程，以及温度的对流-扩散方程。
• 模拟覆盖Ra = 10⁷至10¹⁰，Pr = 11.57（4°C时的水），以及θm从0到接近1的范围，Γ = 2（二维）和Γ = 4（三维）。
• 通过线性稳定性分析预测临界密度反转参数θm,c，超过该值时θc将急剧下降。
• 基于能量与动量平衡的理论推导，获得θc(θm)和Nu(θm)/Nu(0)的通用关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 密度反转参数θm如何控制穿透性对流中中高温度θc的通用标度？
• RQ2 中高温度分布θc(θm)的Ra无关理论形式是什么？该形式在何种θm值下失效？
• RQ3 热传输（努塞尔数Nu）如何普遍依赖于θm？能否推导出Nu(θm)/Nu(0)的标度律？
• RQ4 在高θm下发生何种湍流流态转变？这些转变与系统稳定性有何关联？

主要发现

• 当中高温度θc遵循通用关系θc(θm) = (1 + θm²)/2时，θm低于一个与Ra相关的临界值θm,c。
• 当θm超过θm,c后，θc急剧下降，并在θm = 1时降至1/2，表明对流穿透被完全抑制。
• 临界密度反转参数θm,c由线性稳定性分析精确预测，标志着强层结效应的开始。
• 努塞尔数Nu(θm)随θm增加而单调递减，且理论上推导出通用标度Nu(θm)/Nu(0)。
• 直接数值模拟（Ra最高达10¹⁰）证实了θc(θm)的理论预测及Nu(θm)/Nu(0)的标度关系。
• 在大θm下数值观测到不同湍流流态之间的罕见转变，表明在完全稳定层结极限附近存在复杂动力学。