[论文解读] Universal Quantum Emulator

Iman Marvian, Seth Lloyd|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2016

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 19

一句话总结

该论文提出了一种通用量子模拟器，通过相干耦合将新输入态与多个未知样本输入-输出对的副本连接，实现无需事先了解单位变换的高效模拟。该算法在希尔伯特空间维度 D 上实现对数时间复杂度，在子空间维度 d 上实现多项式样本复杂度，优于线性依赖于 D 的非相干层析方法。

ABSTRACT

We propose a quantum algorithm that emulates the action of an unknown unitary transformation on a given input state, using multiple copies of some unknown sample input states of the unitary and their corresponding output states. The algorithm does not assume any prior information about the unitary to be emulated or the sample input states. To emulate the action of the unknown unitary, the new input state is coupled to the given sample input-output pairs in a coherent fashion. Remarkably, the runtime of the algorithm is logarithmic in D, the dimension of the Hilbert space, and increases polynomially with d, the dimension of the subspace spanned by the sample input states. Furthermore, the sample complexity of the algorithm-i.e., the total number of copies of the sample input-output pairs needed to run the algorithm-is independent of D and polynomial in d. In contrast, the runtime and sample complexity of incoherent methods, i.e., methods that use tomography, are both linear in D. The algorithm is blind, in the sense that, at the end, it does not learn anything about the given samples or the emulated unitary. This algorithm can be used as a subroutine in other algorithms, such as quantum phase estimation.

研究动机与目标

• 开发一种量子算法，在不了解酉变换或样本态的前提下，对新输入态实现未知酉变换的模拟。
• 克服非相干方法（如态层析）在希尔伯特空间维度 D 上线性增长的低效性。
• 即使 D 指数级增长，也能在低维子空间中实现高效模拟。
• 设计一种盲算法，不学习或存储酉变换或样本态的信息，保护隐私并可作为子程序使用。

提出的方法

• 该算法通过受控操作，将新输入态与多个未知样本输入-输出对的副本相干纠缠。
• 在随机参数 λ 的叠加上应用参数化的酉操作 V(λ)，并引入随机酉相互作用。
• 对辅助量子比特进行投影测量，利用测量结果条件性地应用逆酉操作 V†(λ)，形成量子通道。
• 该过程重复 T 次，成功概率随 T 呈指数增长，受测量算符最小特征值 λ_min 的控制。
• 该算法利用样本态张成的子空间结构，仅关注 d 维子空间，而非整个 D 维希尔伯特空间。
• 输出态与目标态的保真度下界为 1 - (1 - λ_min)^T，确保高保真度模拟。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否仅使用样本输入-输出对，在不了解酉变换或态的前提下，通过量子算法对新输入态实现未知酉变换的模拟？
• RQ2 实现高保真度模拟所需的最少样本副本数是多少？其随系统尺寸如何变化？
• RQ3 相干量子操作能否在运行时间和样本复杂度方面超越非相干层析方法？
• RQ4 能否通过利用希尔伯特空间的低维子空间结构，实现模拟的指数级加速？
• RQ5 该模拟器是否可作为更大量子算法中的子程序使用，而不会泄露关于酉变换或样本的信息？

主要发现

• 该算法的运行时间复杂度为 O(log D)，其中 D 为希尔伯特空间维度，相比线性依赖于 D 的非相干层析方法，实现了指数级加速。
• 样本复杂度（即样本输入-输出对的总副本数）与 D 无关，且在子空间维度 d 上为多项式复杂度。
• 输出态与目标态的保真度下界为 1 - (1 - λ_min)^T，其中 λ_min 为测量算符的最小特征值，T 为迭代次数。
• 该算法为盲算法：不学习或存储关于酉变换或样本态的任何信息，保护隐私。
• 在酉变换仅作用于低维子空间的场景中，该方法优于非相干的测量-旋转策略。
• 由于其高保真度与盲特性，该算法可作为更大量子算法（如量子相位估计算法）中的子程序使用。