[论文解读] Universal Quantum Speedup for Branch-and-Bound, Branch-and-Cut, and Tree-Search Algorithms

Shouvanik Chakrabarti, Pierre Minssen+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 9

一句话总结

本文提出增量-量子-分支限界（I-QBB）算法，为分支限界、分支切割及启发式树搜索算法提供通用的量子加速。该算法通过利用量子振幅放大与自适应搜索策略，在经典复杂度为 $Q$ 且解深度为 $d$ 的情况下，实现接近二次方的加速，保证复杂度为 $\tilde{O}(\text{poly}(d) \times \text{polylog}(Q) \times \text{poly}(d))$，其中 $Q \gg d$，在如夏里宁-柯克帕特里克模型、最大独立集和投资组合优化等实际问题中成立。

ABSTRACT

Mixed Integer Programs (MIPs) model many optimization problems of interest in Computer Science, Operations Research, and Financial Engineering. Solving MIPs is NP-Hard in general, but several solvers have found success in obtaining near-optimal solutions for problems of intermediate size. Branch-and-Cut algorithms, which combine Branch-and-Bound logic with cutting-plane routines, are at the core of modern MIP solvers. Montanaro proposed a quantum algorithm with a near-quadratic speedup compared to classical Branch-and-Bound algorithms in the worst case, when every optimal solution is desired. In practice, however, a near-optimal solution is satisfactory, and by leveraging tree-search heuristics to search only a portion of the solution tree, classical algorithms can perform much better than the worst-case guarantee. In this paper, we propose a quantum algorithm, Incremental-Quantum-Branch-and-Bound, with universal near-quadratic speedup over classical Branch-and-Bound algorithms for every input, i.e., if classical Branch-and-Bound has complexity $Q$ on an instance that leads to solution depth $d$, Incremental-Quantum-Branch-and-Bound offers the same guarantees with a complexity of $ ilde{O}(\sqrt{Q}d)$. Our results are valid for a wide variety of search heuristics, including depth-based, cost-based, and $A^{\ast}$ heuristics. Universal speedups are also obtained for Branch-and-Cut as well as heuristic tree search. Our algorithms are directly comparable to commercial MIP solvers, and guarantee near quadratic speedup whenever $Q \gg d$. We use numerical simulation to verify that $Q \gg d$ for typical instances of the Sherrington-Kirkpatrick model, Maximum Independent Set, and Portfolio Optimization; as well as to extrapolate the dependence of $Q$ on input size parameters. This allows us to project the typical performance of our quantum algorithms for these important problems.

研究动机与目标

• 为解决混合整数规划（MIP）中理论量子加速与实际性能之间的差距，特别是当经典求解器使用早期停止和启发式方法时。
• 开发一种量子算法，对所有输入均提供对经典分支限界算法的通用加速，无论是否使用启发式方法或具体问题实例。
• 将可证明的量子优势从最坏情况扩展到现实世界性能，其中经典求解器通常在接近最优解时提前终止。
• 在代表性 MIP 问题上对量子加速进行实证验证：夏里宁-柯克帕特里克自旋玻璃模型、最大独立集，以及带整数约束的均值-方差投资组合优化。

提出的方法

• 提出增量-量子-分支限界（I-QBB）算法，将量子振幅放大与经典树搜索启发式方法结合，以加速对解空间树的探索。
• 在解空间树上实施自适应量子搜索，其中搜索空间基于经典启发式方法（如深度、代价或 A*）进行剪枝，随后对剩余节点应用量子振幅放大。
• 采用改进的振幅放大版本，实现复杂度为 $\tilde{O}(\sqrt{Q}d)$，其中 $Q$ 为经典复杂度，$d$ 为解深度，假设 $Q \gg d$。
• 将框架扩展至分支切割算法，通过将量子搜索与割平面方法结合，保持最优性间隙的边界。
• 使用数值模拟估计 $Q$ 随问题规模 $n$ 的变化关系，对三类问题拟合出指数增长率 $O(2^{\alpha n})$。
• 基于 Gurobi 和 CPLEX 的中位数与均值节点数进行回归分析，预测量子性能在不同问题实例下的扩展趋势。

实验结果

研究问题

• RQ1 量子算法能否在所有输入上实现对经典分支限界算法的通用近似二次方加速，而不仅限于最坏情况？
• RQ2 当经典求解器使用启发式方法和早期终止策略（从而实际运行时间低于最坏情况边界）时，该量子加速是否依然成立？
• RQ3 在实际 MIP 问题（如夏里宁-柯克帕特里克模型、最大独立集和投资组合优化）中，经典复杂度 $Q$ 相对于解深度 $d$ 的实证扩展关系如何？
• RQ4 在集成割平面和动态剪枝的前提下，该量子算法在分支切割和一般启发式树搜索中是否仍能保持可证明的加速？

主要发现

• 在夏里宁-柯克帕特里克模型中，经典节点探索复杂度在 Gurobi 下为 $O(2^{0.494n})$，在 CPLEX 下为 $O(2^{0.513n})$，决定系数 $r^2 > 0.996$，表明 $Q \gg d$。
• 在最大独立集问题中，经典复杂度在 CPLEX 下为 $O(2^{0.0339n})$，在 Gurobi 下为 $O(2^{0.0373n})$，决定系数 $r^2 > 0.989$，确认 $Q \gg d$。
• 在均值-方差投资组合优化中，经典复杂度在 Gurobi 下为 $O(2^{0.195n})$，在 CPLEX 下为 $O(2^{0.140n})$，决定系数 $r^2 > 0.898$，再次表明 $Q \gg d$。
• I-QBB 算法保证复杂度为 $\tilde{O}(\sqrt{Q}d)$，当 $Q \gg d$ 时，相对于经典复杂度 $Q$ 实现接近二次方的加速，该结果在三类问题中均成立。
• 数值模拟证实，该量子加速不仅在理论上可证明，而且在实际 MIP 实例中具有实证意义。