[论文解读] Universal Unitary Photonic Circuits by Interlacing Discrete Fractional Fourier Transform and Phase Modulation

Matthew Markowitz, Mohammad‐Ali Miri|arXiv (Cornell University)|Jul 14, 2023

Optical Network Technologies被引用 7

一句话总结

本文提出一种光子电路架构，仅通过在离散分数傅里叶变换（DFrFT）阶段之间交错排列的 N+1 个可编程相位移层，即可通用地实现任意 N×N 的酉矩阵。通过利用波导阵列中 DFrFT 的物理可实现性，并采用基于梯度的方法优化相位参数，该架构在先前设计的基础上将器件尺寸减少了 10 倍，实现了在 M=N+1 层时误差范数的相变行为。

ABSTRACT

We introduce a novel parameterization of complex unitary matrices, which allows for the efficient photonic implementation of arbitrary linear discrete unitary operators. The proposed architecture is built on factorizing an $N imes N$ unitary matrix into interlaced discrete fractional Fourier transforms and $N$-parameter diagonal phase shifts. We show that such a configuration can represent arbitrary unitary operators with $N+1$ phase layers. We discuss a gradient-based algorithm for finding the optimal phase parameters for implementing a given unitary matrix. By increasing the number of phase layers beyond the critical value of $N+1$, the optimization consistently converges faster as the system becomes over-determined. We propose an integrated photonic circuit realization of this architecture with coupled waveguide arrays and reconfigurable phase modulators. The proposed architecture can pave the way for developing novel families of programmable photonic circuits for optical classical and quantum information processing.

研究动机与目标

• 开发一种紧凑、可扩展的光子架构，用于在集成光学中实现任意 N×N 的酉矩阵。
• 与基于 DFT 或分束器网络的现有架构相比，减少所需相位层的数量和器件长度。
• 建立一种基于交错排列的 DFrFT 与对角相位移器的酉矩阵参数化方法，以实现高效的光子实现。
• 证明 M=N+1 个相位层足以实现通用表示，并且当 M 超过该值时，优化过程收敛速度更快。

提出的方法

• 该架构将一个 N×N 的酉矩阵分解为 N+1 个对角相位移矩阵（Pm）与离散分数傅里叶变换（DFrFT）算子（F）的级联，形式为 U = F P_M F ... P_1 F。
• DFrFT 通过 Jx 波导阵列实现，该阵列以特定哈密顿量 H 提供分数傅里叶变换的物理光子实现。
• 采用基于梯度的优化算法，具体为 Levenberg-Marquardt 算法（LMA），以确定每一层的最优相位参数（θi^m）。
• 该方法将目标酉矩阵与近似矩阵之间的误差范数（L）作为相位层数（M）的函数进行评估。
• 系统在随机 N×N 酉矩阵的集合上进行测试，分析不同 M 和 N 下的收敛性与误差行为。
• 结果表明，当 M=N+1 时系统处于过定状态，相比 M=N 时可实现更快、更可靠的优化。

实验结果

研究问题

• RQ1 仅使用 N+1 个相位层的光子电路能否通用地表示任意 N×N 的酉矩阵？
• RQ2 使用离散分数傅里叶变换是否能实现比传统基于 DFT 或分束器的架构更紧凑、更高效的实现？
• RQ3 实现任意酉矩阵可靠且快速优化所需的临界相位层数是多少？
• RQ4 当相位层数超过 N+1 时，优化过程的收敛速度和精度如何变化？

主要发现

• 该架构仅使用 N+1 个相位层即可实现通用酉操作，与基于 DFT 的架构相比，器件长度减少了 10 倍。
• 在 M=N+1 层时，误差范数出现明显的相变，表明这是实现通用表示的最小层数。
• 当 M > N+1 时，优化收敛速度显著加快，M=N+2 层表现出一致的性能并减少迭代次数。
• 对于 N=16，单次 LMA 运行中实现误差范数 ≤10−10 的概率约为 50%，而 M=N+1 时的成功概率降至约 1%。
• 即使采用截断的 LMA，使用 M=N+2 层在 N=16 时仍能以约 90% 的概率实现目标误差范数 10−5。
• 当 M=N+3 或更高时，该方法在大 N 情况下依然具有可行性，表明过定性增强了可扩展光子电路的实现可能性。