[论文解读] Universal Witnesses for State Complexity of Basic Operations Combined with Reversal

Janusz Brzozowski, David Liu|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2012

semigroups and automata theory参考文献 8被引用 4

一句话总结

本文证明了通用见证自动机 $\mathcal{U}_n(a,b,c)$ 及其变体（包括置换形式和方言形式）在应用于正则语言时，能够对所有基本操作——布尔操作、连接、星号和反转——实现紧致的状态复杂度上界。它证明了 $3 \cdot 2^{m+n-2}$ 是连接反转 $(KL)^R = L^R K^R$ 的紧致上界，并通过系统化的可达性和可区分性证明，确认了所有涉及反转的操作的紧致性，使用的是通用见证框架。

ABSTRACT

We study the state complexity of boolean operations, concatenation and star with one or two of the argument languages reversed. We derive tight upper bounds for the symmetric differences and differences of such languages. We prove that the previously discovered bounds for union, intersection, concatenation and star of such languages can all be met by the recently introduced universal witnesses and their variants.

研究动机与目标

• 确定正则语言在与反转组合时，基本操作的紧致状态复杂度上界。
• 证明通用见证 $\mathcal{U}_n(a,b,c)$ 及其变体能够实现所有已知的涉及反转操作的紧致上界。
• 通过利用通用见证的置换等价性和方言形式，统一多种操作的见证构造。
• 通过在不同操作中使用单一通用见证框架，简化并推广状态复杂度上界证明。

提出的方法

• 将通用见证 $\mathcal{U}_n(a,b,c)$ 用作具有 $n$ 个状态的规范DFA，其字母表为 $\{a,b,c\}$，具有特定的状态转移和单个终态。
• 应用置换等价性生成变体，如 $\mathcal{U}_n(b,a,c)$ 和 $\mathcal{U}_n(d,c,b,a)$，在字母重命名下保持状态复杂度特性。
• 使用通用见证的方言形式，如 $U_{\{0\},n}(a,b,c)$ 和 $V_n(a,b,c,d)$，以建模星号和反转等特定操作，其终态集不同。
• 通过在 $\{b,c,d\}^*$ 和 $\{a,b,c\}^*$ 上使用输入字串的归纳构造，证明乘积自动机中所有 $2^{n+m-1} + 2^{n+m-2} = 3 \cdot 2^{n+m-2}$ 个状态的可达性。
• 使用 $a^k$ 和 $d^l a^{k+1}$ 变换建立状态的可区分性，以基于其在 $Q_2$ 和 $Q_1$ 中的成员关系分离子集。
• 将证明框架扩展至 $K^R L$、$KL^R$、$K \cup L^R$、$K \cap L^R$ 和 $(L^*)^R$ 等操作，使用相同的见证结构但修改终态。

实验结果

研究问题

• RQ1 通用见证 $\mathcal{U}_n(a,b,c)$ 及其变体能否实现所有基本操作与反转组合的紧致状态复杂度上界？
• RQ2 $(KL)^R = L^R K^R$ 的上界 $3 \cdot 2^{m+n-2}$ 是否紧致，且能否通过通用见证框架实现？
• RQ3 置换等价性和通用见证的方言形式能否简化并统一涉及反转的多个操作的证明？
• RQ4 $K^R L$、$KL^R$ 和 $K \cup L^R$ 的状态复杂度是多少，相对于通用见证而言是否紧致？
• RQ5 通用见证框架是否也能为星号操作的反转实现紧致上界，即 $(L^*)^R = (L^R)^*$？

主要发现

• 连接的反转 $(KL)^R = L^R K^R$ 的紧致状态复杂度上界为 $3 \cdot 2^{m+n-2}$，该上界由通用见证 $\mathcal{U}_n(a,b,c)$ 实现。
• 所有已知的涉及反转操作（并集、交集、连接、星号及其变体）的紧致上界均可通过通用见证 $\mathcal{U}_n(a,b,c)$ 及其置换和方言变体实现。
• 具有终态集 $\{0\}$ 的通用见证 $\mathcal{U}_n(a,b,c)$ 实现了星号操作反转 $(L^*)^R = (L^R)^*$ 的紧致上界 $2^n$。
• 在 $K$ 和 $L^R$ 的乘积自动机中，恰好达到 $3 \cdot 2^{m+n-2}$ 个状态，其中 $2^{n+m-1}$ 个状态不包含 $q_0$，$2^{n+m-2}$ 个状态同时包含 $q_0$ 和 $m-1$，且所有状态均可达。
• 乘积自动机中的所有状态两两可区分：具有不同 $Q_2$ 子集的状态由 $a^k$ 分离，而具有不同 $Q_1$ 子集的状态由 $d^l a^{k+1}$ 分离（当 $Q_2$ 成分不同时）。
• 使用通用见证的方言和置换变体，可建立统一的证明框架，从而简化并推广涉及反转的多个操作的证明。