[论文解读] Universality for the largest eigenvalue of a class of sample covariance matrices

Zhigang Bao, Guangming Pan+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 21, 2013

Random Matrices and Applications参考文献 32被引用 4

一句话总结

本文建立了高维样本协方差矩阵 $\Sigma^{1/2}XX^*\Sigma^{1/2}$ 的最大特征值的普遍性，其中 $X$ 的元素为均值为零、方差为单位的独立同分布随机变量。通过格林函数比较方法，证明在 $\Sigma$ 和 $x_{ij}$ 分布的一般条件下，归一化后的最大特征值在复数情形下弱收敛于 Tracy-Widom 分布 $\Sigma_2$，在实数脉冲情形下弱收敛于 $\Sigma_1$，将先前结果推广至非独立同分布和非对角 $\Sigma$ 的情形。主要贡献在于超越零假设情形（$\Sigma = I$）的普遍性。

ABSTRACT

This paper is aimed at deriving the universality of the largest eigenvalue of a class of high-dimensional real or complex sample covariance matrices of the form $\mathcal{W}_N=\Sigma^{1/2}XX^*\Sigma ^{1/2}$. Here, $X=(x_{ij})_{M,N}$ is an $M imes N$ random matrix with independent entries $x_{ij},1\leq i\leq M,1\leq j\leq N$ such that $\mathbb{E}x_{ij}=0$, $\mathbb{E}|x_{ij}|^2=1/N$. On dimensionality, we assume that $M=M(N)$ and $N/M ightarrow d\in(0,\infty)$ as $N ightarrow\infty$. For a class of general deterministic positive-definite $M imes M$ matrices $\Sigma$, under some additional assumptions on the distribution of $x_{ij}$'s, we show that the limiting behavior of the largest eigenvalue of $\mathcal{W}_N$ is universal, via pursuing a Green function comparison strategy raised in [Probab. Theory Related Fields 154 (2012) 341-407, Adv. Math. 229 (2012) 1435-1515] by Erdős, Yau and Yin for Wigner matrices and extended by Pillai and Yin [Ann. Appl. Probab. 24 (2014) 935-1001] to sample covariance matrices in the null case ($\Sigma=I$). Consequently, in the standard complex case ($\mathbb{E}x_{ij}^2=0$), combing this universality property and the results known for Gaussian matrices obtained by El Karoui in [Ann. Probab. 35 (2007) 663-714] (nonsingular case) and Onatski in [Ann. Appl. Probab. 18 (2008) 470-490] (singular case), we show that after an appropriate normalization the largest eigenvalue of $\mathcal{W}_N$ converges weakly to the type 2 Tracy-Widom distribution $\mathrm{TW}_2$. Moreover, in the real case, we show that when $\Sigma$ is spiked with a fixed number of subcritical spikes, the type 1 Tracy-Widom limit $\mathrm{TW}_1$ holds for the normalized largest eigenvalue of $\mathcal {W}_N$, which extends a result of Feral and Peche in [J. Math. Phys. 50 (2009) 073302] to the scenario of nondiagonal $\Sigma$ and more generally distributed $X$.

研究动机与目标

• 建立一类高维实或复样本协方差矩阵的最大特征值普遍性，超越零假设情形（$\Sigma = I$）。
• 将原本为 Wigner 矩阵开发的格林函数比较方法，推广至具有通用总体协方差 $\Sigma$ 的样本协方差矩阵。
• 确定当 $\Sigma$ 以固定数量的次临界特征值脉冲化时，最大特征值的极限分布。
• 统一并推广先前关于高维设定下高斯与非高斯元素的 Tracy-Widom 极限定律结果。

提出的方法

• 将 Erdœs, Yau 和 Yin (2012) 提出的格林函数比较策略，适配于具有通用 $\Sigma$ 的样本协方差矩阵。
• 采用微分方程方法，比较样本协方差矩阵与参考系的格林函数。
• 利用经验谱分布的局部定律，控制特征值的体态与边缘行为。
• 应用变形的 Wigner 半圆律，以在一般 $\Sigma$ 下建模极限谱分布。
• 采用类似 Lindeberg 的替换策略，处理非高斯元素，同时保持边缘普遍性。
• 将比较结果与高斯矩阵中已知的 Tracy-Widom 极限定律相结合，推导出普遍的边缘波动。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $\Sigma$ 为一般正定矩阵且 $X$ 的元素为均值为零、方差为单位的独立同分布随机变量时，$\mathcal{W}_N = \Sigma^{1/2}XX^*\Sigma^{1/2}$ 的最大特征值的极限分布是否保持普遍性？
• RQ2 在一般 $\Sigma$ 下，能否证明复数情形中归一化最大特征值的普遍极限为 Tracy-Widom 分布 $\mathrm{TW}_2$？
• RQ3 当 $\Sigma$ 以固定数量的次临界特征值脉冲化时，该普遍性结果是否可推广至实数情形？
• RQ4 格林函数比较方法如何适应于非独立同分布元素和非单位 $\Sigma$ 的样本协方差矩阵？
• RQ5 在一般 $\Sigma$ 和一般元素分布下，边缘普遍性在零假设情形（$\Sigma = I$）之外在多大程度上成立？

主要发现

• 在复数情形下，当 $\Sigma$ 为一般矩阵且元素满足 $\mathbb{E}x_{ij}^2 = 0$ 时，$\mathcal{W}_N$ 的归一化最大特征值的极限分布弱收敛于 Tracy-Widom 分布 $\mathrm{TW}_2$。
• 在实数情形下，当 $\Sigma$ 以固定数量的次临界特征值脉冲化时，归一化最大特征值弱收敛于 $\mathrm{TW}_1$，将 Feral 和 Péché 的结果推广至非对角 $\Sigma$。
• 在元素 $x_{ij}$ 满足较弱的矩条件（包括非高斯分布）下，对一般确定性 $\Sigma$，边缘特征值行为的普遍性得以确立。
• 格林函数比较方法成功地将高斯情形下的边缘普遍性推广至非高斯情形下的样本协方差矩阵。
• 收敛速度和有限样本行为未被量化，但在所述渐近框架 $N \to \infty$，$M/N \to d \in (0,\infty)$ 下，已证明弱收敛于 Tracy-Widom 分布。
• 该结果将 El Karoui 和 Onatski 对高斯矩阵的发现推广至一类具有通用 $\Sigma$ 的非高斯样本协方差矩阵的普遍类。