[论文解读] Universality of blow up profile for small blow up solutions to the energy critical wave map equation

Thomas Duyckaerts, Hao Jia+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 14, 2016

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 59被引用 20

一句话总结

本文建立了在度数为一的调和映射能量阈值附近，小能量波动映射进入2-球面的爆破解剖图的普遍性。通过引入一种新颖的能量通道不等式，证明了能量略高于阈值且在有限时间内爆破的解，其渐近行为必分解为一个光滑分量与一个动量较小的行进波，从而通过行进波形式的能量集中确认了能量量子化现象。

ABSTRACT

In this paper we introduce the channel of energy argument to the study of energy critical wave maps into the sphere. More precisely, we prove a channel of energy type inequality for small energy wave maps, and as an application we show that for a wave map that has energy just above the degree one harmonic maps and that blows up in finite time, the solution asymptotically de-couples into a regular part plus a traveling wave with small momentum, in the energy space. In particular, the only possible form of energy concentration is through the concentration of traveling waves. This is often called quantization of energy at blow up. We also give a brief review of important background results in the subcritical and critical regularity theory for the two dimensional wave maps.

研究动机与目标

• 建立小能量波动映射解在进入2-球面的临界能量波动映射方程中的爆破解剖图的普遍性。
• 证明能量略高于度数为一调和映射阈值的有限时间爆破解，其渐近行为必须分解为一个光滑部分与一个动量较小的行进波。
• 在爆破时刻确认能量量子化现象，即能量仅以行进波形式集中。
• 引入并应用能量通道论证方法于临界能量波动映射设定中，将亚临界与临界正则性理论中的技术加以拓展。

提出的方法

• 为小能量波动映射引入一种类似文献[11]中结果的能量通道型不等式，以控制时空中的能量分布。
• 利用有限传播速度与能量通量估计，分析解在光锥及其补集中的行为。
• 通过趋近爆破时刻的时间序列，应用集中紧致性方法，提取极限轮廓。
• 使用截断函数构造修正的初始数据集，以隔离颈部区域的能量并控制通量衰减。
• 利用颈部区域能量通量的微小性，证明所有能量集中均发生于行进波分量中。
• 利用动量与能量估计，证明波动映射质心的运动速度 $<l$ 满足 $|\ell| < 1$，从而确认行进波行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 能量略高于度数为一调和映射阈值、在有限时间内爆破的小能量波动映射解，其渐近结构为何？
• RQ2 能量通道方法能否被适配于临界能量波动映射设定中，以控制能量分布并防止能量在非行进波形式中集中？
• RQ3 能量集中于爆破解中的唯一可能机制是否为形成一个动量较小的行进波？
• RQ4 对于接近阈值能量的解，爆破解剖图是否具有普遍性，即不依赖于初始数据？

主要发现

• 能量略高于度数为一调和映射阈值且在有限时间内爆破的解，在能量空间中渐近分解为一个光滑部分与一个动量较小的行进波。
• 爆破解剖图具有普遍性：所有能量集中仅通过行进波的集中实现，从而在爆破时刻确认了能量量子化。
• 行进波的速度满足 $\ell = \lim_{t \to 0^+} \frac{x(t)}{t}$，且 $|\ell| < 1$，该波的动量为 $\frac{4\pi l}{\sqrt{1 - l^2}}$。
• 颈部区域 $B_{2t} \setminus B_t$ 的能量通量在 $t \to 0$ 时趋于零，意味着颈部中无能量残留，这支持了解被分解为光滑与行进波分量的结论。
• 解在爆破时刻始终处于度数为一的调和映射集合 $\mathcal{M}_{\ell,1}$ 的收缩邻域内，确认了行进波轮廓的稳定性。
• 能量通道不等式结合有限传播速度与能量通量控制，使得渐近分解的证明以及爆破解剖图的识别成为可能。