[论文解读] Universality of Euler flows and flexibility of Reeb embeddings

Robert Cardona, Eva Miranda+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2019

Topological and Geometric Data Analysis被引用 6

一句话总结

本文通过展示任何定义在紧致流形上的非自治动力系统均可通过贝尔特米型解扩展为高维黎曼流形上光滑的、定常的欧拉方程解，从而确立了定常欧拉流的普遍性。关键结果是定常欧拉流的图灵完备性，意味着它们可模拟任意通用图灵机，因而表现出不可判定的轨迹，这一结果得益于接触几何中雷布嵌入的新型h-原理。

ABSTRACT

The dynamics of an inviscid and incompressible fluid flow on a Riemannian manifold is governed by the Euler equations. Recently, Tao launched a programme to address the global existence problem for the Euler and Navier Stokes equations based on the concept of universality. Inspired by this proposal, in this article we prove that the stationary Euler equations exhibit several universality features. More precisely, we show that any non-autonomous flow on a compact manifold can be extended to a smooth stationary solution of the Euler equations on some Riemannian manifold of possibly higher dimension. The solutions we construct are of Beltrami type, and being stationary they exist for all time. Using this result, we establish the Turing completeness of the steady Euler flows,i.e., there exist solutions that encode a universal Turing machine and, in particular, these solutions have undecidable trajectories. Our proofs deepen the correspondence between contact topology and hydrodynamics, which is key to establish the universality of the Reeb flows and their Beltrami counterparts. An essential ingredient in the proofs, of interest in itself, is a novel flexibility theorem for embeddings in Reeb dynamics in terms of an h-principle in contact geometry, which unveils the flexible behavior of the steady Euler flows. These results can be viewed as lending support to the intuition that solutions to the Euler equations can be extremely complicated in nature.

研究动机与目标

• 探究尽管时间独立，定常欧拉方程解是否能表现出普遍动力行为。
• 将陶哲轩关于欧拉方程普遍性计划扩展至定常的、贝尔特米型解。
• 通过h-原理，建立接触几何中雷布动力学与流体力学之间的拓扑对应关系。
• 证明定常欧拉流是图灵完备的，能够编码任意计算过程。
• 开发一种关于等雷布嵌入的灵活性定理，作为证明中的关键技术工具。

提出的方法

• 通过在 M = N × T^m 上使用扭曲积度量构造定常欧拉流，其中 N 是带有非自治流的基流形。
• 利用贝尔特米向量场确保解为定常且对所有时间存在。
• 应用关于等度量浸入的h-原理，将非自治流嵌入到接触流形上的雷布流中。
• 通过利乌维勒形式，建立 N 上测地可积向量场与球丛 S(T*N) 上雷布动力之间的对应关系。
• 证明在余维数约束下，小等雷布嵌入的空间同伦等价于光滑嵌入的空间。
• 利用参数化h-原理及同伦群同构，揭示嵌入空间中的灵活性，特别是在过度扭转接触流形中。

实验结果

研究问题

• RQ1 任何定义在紧致流形上的非自治流是否都能通过贝尔特米型向量场扩展为高维黎曼流形上光滑的、定常的欧拉方程解？
• RQ2 定常欧拉流是否可能模拟通用计算，即是否图灵完备？
• RQ3 接触流形中雷布嵌入的拓扑灵活性如何？其与流体动力学普遍性的关系是什么？
• RQ4 在余维数假设下，形式等雷布嵌入与真实等雷布嵌入的空间的同伦类型有何比较？
• RQ5 接触几何中的h-原理在多大程度上能够实现灵活且普遍的流体动力学解的构造？

主要发现

• 任何定义在紧致流形上的非自治流均可通过贝尔特米型向量场扩展为高维黎曼流形上光滑的、定常的欧拉方程解。
• 定常欧拉流是图灵完备的，意味着它们可模拟任意通用图灵机，因而具有不可判定的轨迹。
• 当余维数超过 3 dim N + 2 + k 时，小等雷布嵌入的空间同伦等价于光滑嵌入的空间。
• 在过度扭转接触流形中，当余维数 > 3 dim N + k 时，形式等雷布嵌入包含于光滑嵌入中诱导的同伦群同构可达第 k 个度数。
• 建立了一种关于雷布嵌入的新型h-原理，揭示了通过接触几何技术实现的定常欧拉流中的灵活行为。
• 通过利乌维勒形式，正式建立了测地可积流与雷布动力之间的对应关系，从而实现将任意测地可积流嵌入到球余切丛上的雷布流中。