[论文解读] Universality Theorems for Generative Models
本文通过证明具有温和激活函数约束的前馈神经网络可在任意Hausdorff距离内逼近任意紧致连通数据流形，建立了生成模型的理论普遍性。此外，本文进一步表明，对于任意同维数的流形对，可训练一对神经网络作为近似逆映射，从而实现循环一致的生成。
Despite the fact that generative models are extremely successful in practice, the theory underlying this phenomenon is only starting to catch up with practice. In this work we address the question of the universality of generative models: is it true that neural networks can approximate any data manifold arbitrarily well? We provide a positive answer to this question and show that under mild assumptions on the activation function one can always find a feedforward neural network that maps the latent space onto a set located within the specified Hausdorff distance from the desired data manifold. We also prove similar theorems for the case of multiclass generative models and cycle generative models, trained to map samples from one manifold to another and vice versa.
研究动机与目标
- 在数据流形的背景下，建立生成模型普遍逼近能力的理论基础。
- 研究神经网络是否可在指定Hausdorff距离内逼近任意紧致连通流形。
- 将普遍性扩展至由不相交流形组成的多类数据集，并扩展至学习双向映射的循环生成模型。
- 证明对于任意同维数的流形对，存在可作为彼此近似逆映射的神经网络。
- 提供一种几何的、数学上严谨的框架，以理解深度生成模型的表征能力。
提出的方法
- 使用Hausdorff距离作为度量，量化神经网络在潜在流形上的像与目标数据流形之间的接近程度。
- 应用Whitney延拓定理，将定义在流形子集上的微分同胚平滑延拓至整个环境空间。
- 利用普遍逼近定理（Hornik, 1991）证明，前馈神经网络可使用紧集上的光滑函数逼近。
- 构建神经网络，使其在正向和反向方向上均以受控误差将一个流形的紧致子集映射至另一个流形。
- 运用黎曼几何与拓扑工具，确保任意给定流形上存在测度为全测度的微分同胚子集。
- 通过网络逼近的复合来界定反向映射中的误差，从而证明近似可逆性。
实验结果
研究问题
- RQ1前馈神经网络是否可在任意Hausdorff距离内逼近任意紧致连通数据流形？
- RQ2生成模型的普遍性是否可扩展至由多个不相交流形组成的多类数据集？
- RQ3能否构建一对神经网络，使得彼此均为对方的近似逆映射，从而实现循环一致的生成？
- RQ4普遍性结果是否依赖于光滑性？是否同样适用于拓扑流形？
- RQ5流形的哪些几何或拓扑性质会影响所需神经网络架构的复杂度？
主要发现
- 对于任意紧致连通光滑流形及任意ε > 0，存在一个前馈神经网络，其将潜在空间映射后，图像与目标流形之间的Hausdorff距离小于ε。
- 即使流形仅为拓扑流形（不一定是光滑的），只要激活函数是非常数、有界且连续的，该结果依然成立。
- 对于任意两个同维数的紧致连通流形，存在神经网络fθ和gφ，使得fθ将第一个流形的全测度子集ε-接近第二个流形的全测度子集，反之亦然。
- 复合映射fθ ∘ gφ在第一个流形上近似恒等映射，误差为O(ε)，gφ ∘ fθ在第二个流形上近似恒等映射，误差也为O(ε)，其中常数仅依赖于流形本身。
- 该构造依赖于将流形全测度子集之间的微分同胚延拓至整个环境空间，并用神经网络逼近该延拓。
- 该理论框架解释了Cycle GAN的实证成功，并表明此类模型原则上可学习任意同维数流形对之间的双向映射。
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