[论文解读] Unknotting number and number of Reidemeister moves needed for unlinking

Chuichiro Hayashi, Miwa Hayashi|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2010

Geometric and Algebraic Topology参考文献 11被引用 4

一句话总结

本文提出了一种基于unknotting数的新链图不变量 $iu(D)$，该不变量在任意Reidemeister移动下变化不超过2。利用该不变量，作者证明了某些无限族平凡二分量链图需要 $×$ 二次方数量级的移动才能解开。在复合Torus链unknotting数的一个猜想下，进一步表明这些图需要二次方数量级的移动才能分离，从而建立了unlinking复杂度的下界。

ABSTRACT

Using unknotting number, we introduce a link diagram invariant of Hass and Nowik type, which changes at most by 2 under a Reidemeister move. As an application, we show that a certain infinite sequence of diagrams of the trivial two-component link need quadratic number of Reidemeister moves for being unknotted with respect to the number of crossings. Assuming a certain conjecture on unknotting numbers of a certain series of composites of torus knots, we show that the above diagrams need quadratic number of Reidemeister moves for being splitted.

研究动机与目标

• 定义一个新的链图不变量 $iu(D)$，基于unknotting数，使其在Reidemeister移动下保持稳定。
• 建立特定平凡二分量链图解开或分离所需Reidemeister移动数的下界。
• 将Hass-Nowik不变量框架扩展至链图，利用unknotting数的差异。
• 证明某些平凡二分量链图的图示需要 $×$ 二次方数量级的移动才能解开，前提是关于复合Torus链unknotting数的猜想成立。

提出的方法

• 定义 $iu(D) = \sum_{p \in \mathcal{C}(D)} \text{sign}(p) \cdot |u(D_p) - u(L_D)|$，其中 $D_p$ 是通过平滑交叉点 $p$ 得到的链。
• 证明 $iu(D)$ 在任意Reidemeister移动下变化不超过2，且对特定移动类型有更紧的界（例如，匹配的RII移动最多变化1）。
• 使用不变量 $iu_{\epsilon,\delta}(D) = iu(D) + \epsilon(\frac{1}{2}c(D) + \delta\frac{3}{2}w(D))$ 跟踪RI移动下的变化，并推导移动数的下界。
• 构造一族图 $D_n$，通过带有 $n$ 个负交叉和 $2n-1$ 个正交叉的辫闭合表示平凡二分量链。
• 应用一系列RIII、RI和匹配RII移动将 $D_n$ 化为平凡链，通过计数移动建立上界。
• 利用 $T(2,k)\sharp T(2,-k)$ 和 $T(2,n)\sharp T(2,-n)$ 的unknotting数计算 $iu(D_n)$，表明 $iu(D_n)$ 随 $n$ 的平方增长。

实验结果

研究问题

• RQ1 给定一个平凡二分量链的图示，解开它所需的最少Reidemeister移动数是多少？
• RQ2 基于unknotting数的链图不变量能否提供移动复杂度的有效下界？
• RQ3 在Reidemeister移动下，$iu(D)$ 的行为与Hass-Nowik纽结不变量相比如何？
• RQ4 在什么条件下，分离链所需的移动数会超过解开它所需的移动数？
• RQ5 复合Torus链的unknotting数能否用于推导链图移动复杂度的下界？

主要发现

• 不变量 $iu(D)$ 在任意Reidemeister移动下变化不超过2，具体界限为：RI和非匹配RII为0，匹配RII为1，RIII为2。
• 具有 $7n-1$ 个交叉的图 $D_n$ 可在 $2n^2 + 3n$ 次Reidemeister移动内解开，且该上界在常数因子内是紧的。
• 不变量 $iu(D_n)$ 的增长为 $2\sum_{k=1}^{n-1} u(T(2,k)\sharp T(2,-k)) + u(T(2,n)\sharp T(2,-n))$，表明移动数存在二次下界。
• 在假设 $T(2,k)\sharp T(2,-k)$ 的unknotting数的猜想成立下，分离 $D_n$ 所需的移动数也随 $n$ 的平方增长。
• 不变量 $iu_{+1,+1}(D_n)$ 由于 writhe 和交叉数增加 $3n-2$，其增长支持了二次下界。
• 本文证明了 $|iu(D_1) - iu(D_2)|/2$ 给出了将 $D_1$ 变换为 $D_2$ 所需的匹配RII和RIII移动数的下界。