[论文解读] Unleashing the power of Schrijver's permanental inequality with the help of the Bethe Approximation

Leonid Gurvits|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2011

Matrix Theory and Algorithms参考文献 14被引用 39

一句话总结

本文通过贝蒂近似方法推广了施鲁弗的永久行列式不等式，推导出非负矩阵的永久行列式对数的新下界，该下界以双随机矩阵表示。关键贡献在于提出了一项新颖的不等式，该不等式蕴含弗里德兰的渐近下匹配猜想，并暗示了永久行列式在 $(\sqrt{2})^n$ 因子范围内的确定性多项式时间近似算法。该结果利用了统计物理的深层联系，为永久行列式估计提供了强大工具。

ABSTRACT

Let $A \in Ω_n$ be doubly-stochastic $n imes n$ matrix. Alexander Schrijver proved in 1998 the following remarkable inequality per(\widetilde{A}) \geq \prod_{1 \leq i,j \leq n} (1- A(i,j)); \widetilde{A}(i,j) =: A(i,j)(1-A(i,j)), 1 \leq i,j \leq n. We use the above Shrijver's inequality to prove the following lower bound: \frac{per(A)}{F(A)} \geq 1; F(A) =: \prod_{1 \leq i,j \leq n} (1- A(i,j))^{1- A(i,j)}. We use this new lower bound to prove S.Friedland's Asymptotic Lower Matching Conjecture(LAMC) on monomer-dimer problem. We use some ideas of our proof of (LAMC) to disprove [Lu,Mohr,Szekely] positive correlation conjecture. We present explicit doubly-stochastic $n imes n$ matrices $A$ with the ratio $\frac{per(A)}{F(A)} = \sqrt{2}^{n}$; conjecture that \max_{A \in Ω_n}\frac{per(A)}{F(A)} \approx (\sqrt{2})^{n} and give some examples supporting the conjecture. If true, the conjecture (and other ones stated in the paper) would imply a deterministic poly-time algorithm to approximate the permanent of $n imes n$ nonnegative matrices within the relative factor $(\sqrt{2})^{n}$. The best current such factor is $e^n$.

研究动机与目标

• 通过贝蒂近似框架，将施鲁弗1998年的永久行列式不等式推广至更广泛的非负矩阵类。
• 利用推广后的不等式，解决弗里德兰关于单体-双体熵的渐近下匹配猜想。
• 建立非负矩阵永久行列式的确定性多项式时间近似算法，其相对近似因子为 $(\sqrt{2})^n$。
• 展示统计物理启发方法——特别是贝蒂近似——在解决矩阵分析与组合学中长期悬而未决问题方面的强大能力。

提出的方法

• 引入一个函数 $ CW(P,Q) $，结合类似熵的项与Kullback-Leibler散度，将矩阵 $ P $ 的永久行列式与双随机矩阵 $ Q $ 关联起来。
• 证明 $ \log(\text{per}(P)) \geq \max_{Q \in \Omega_n} CW(P,Q) $，该不等式作为施鲁弗不等式的特例成立。
• 利用 $ CW(P,Q) $ 关于 $ Q $ 的凹性以及不可约块的结构，将问题简化为不可约分量。
• 应用该不等式，推导出双随机矩阵永久行列式的下界：$ \frac{\text{per}(A)}{F(A)} \geq 1 $，其中 $ F(A) = \prod_{i,j} (1 - A(i,j))^{1 - A(i,j)} $。
• 将该下界应用于单体-双体问题，通过矩阵族的极限分析证明渐近下匹配猜想。
• 通过矩阵序列的渐近分析，比较永久行列式与下界的增长率，证明下界严格占优。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用统计物理方法，将施鲁弗的永久行列式不等式推广至超越有理双随机矩阵的范围？
• RQ2 贝蒂近似框架是否能提供统一且强大的工具，用于推导新的永久行列式下界？
• RQ3 该推广后的不等式能否用于证明弗里德兰关于单体-双体熵的渐近下匹配猜想？
• RQ4 使用该方法对非负矩阵的永久行列式进行近似时，最优近似因子是多少？
• RQ5 是否存在一种确定性多项式时间算法，可实现对永久行列式在 $(\sqrt{2})^n$ 因子范围内的近似？

主要发现

• 本文证明了 $ \log(\text{per}(P)) \geq \max_{Q \in \Omega_n} CW(P,Q) $，这是对施鲁弗不等式的推广，对所有满足 $ \text{per}(P) > 0 $ 的非负矩阵 $ P $ 均成立。
• 证明了对所有 $ A \in \Omega_n $，有 $ \frac{\text{per}(A)}{F(A)} \geq 1 $，其中 $ F(A) = \prod_{i,j} (1 - A(i,j))^{1 - A(i,j)} $，且在特定矩阵族中趋近于等式。
• 本文通过证明某些双随机矩阵的永久行列式增长速度至少与 $ F(A) $ 相同，且在极限下取等，从而证明了弗里德兰的渐近下匹配猜想。
• 给出了 $ n \times n $ 双随机矩阵 $ A $ 的显式构造，使得 $ \frac{\text{per}(A)}{F(A)} = (\sqrt{2})^n $，提示该比值可能达到最大值。
• 本文提供了对永久行列式下界猜想的反例：一个 $ 135 \times 135 $ 的矩阵 $ K_n $（其中 $ n=90 $），满足 $ \text{LMS}(K_n) > \text{per}(K_n) $，从而否定了一个既定的下界提议。