[论文解读] Unlocking the general relationship between energy and entanglement spectra via the wormhole effect

Yan Zheng, Zi Yang Meng|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2021

Physics of Superconductivity and Magnetism被引用 5

一句话总结

本文提出了一种在量子蒙特卡洛模拟中用于从大而高度纠缠的量子系统中提取低能纠缠谱的随机解析延拓方法，克服了指数级计算复杂性。该方法在路径积分形式中建立了普遍的虫洞效应，解释了纠缠谱与边界能谱之间的对应关系，验证了李和哈尔丹在拓扑相中的猜想，并将其推广至无隙拓扑系统之外。

ABSTRACT

Based on the path integral formulation of the reduced density matrix, we develop a scheme to overcome the exponential growth of computational complexity in reliably extracting low-lying entanglement spectrum from quantum Monte Carlo simulations. We test the method on the Heisenberg spin ladder with long entangled boundary between two chains and the results support the Li and Haldane's conjecture on entanglement spectrum of topological phase. We then explain the conjecture via the wormhole effect in the path integral and show that it can be further generalized for systems beyond gapped topological phases. Our further simulation results on the bilayer antiferromagnetic Heisenberg model with 2D entangled boundary across the $(2+1)$D O(3) quantum phase transition clearly demonstrate the correctness of the wormhole picture. Finally, we state that since the wormhole effect amplifies the bulk energy gap by a factor of $β$, the relative strength of that with respect to the edge energy gap will determine the behavior of low-lying entanglement spectrum of the system.

研究动机与目标

• 克服在大纠缠区域中从量子蒙特卡洛模拟中提取低能纠缠谱时面临的指数级计算复杂性。
• 检验并验证李和哈尔丹关于无隙拓扑相中纠缠谱与边界能谱之间对应关系的猜想。
• 利用路径积分中的虫洞效应，将纠缠谱-能谱对应关系推广至无隙拓扑系统之外。
• 在双层反铁磁海森堡模型跨越O(3)量子相变的过程中，展示该方法在二维纠缠边界上的可行性。
• 通过虫洞效应，建立一个物理图像，将体能隙与边界能隙的相对强度与纠缠谱结构联系起来。

提出的方法

• 利用随机解析延拓（SAC）方法，从QMC模拟中测量的虚时相关函数 $ G(\tau) $ 重建谱函数 $ S(\omega) $。
• 采用核函数 $ K(\tau, \omega) = \frac{e^{-\tau\omega} + e^{-(\beta - \tau)\omega}}{\pi} $ 将 $ G(\tau) $ 与 $ S(\omega) $ 关联，其中 $ \beta $ 为逆温度。
• 将归一化的谱函数 $ B(\omega) = S(\omega)(1 + e^{-\beta\omega}) $ 表示为狄拉克函数的和 $ \sum_i a_i \delta(\omega - \omega_i) $，以实现数值拟合。
• 使用马尔可夫链蒙特卡洛采样方案，通过玻尔兹曼权重 $ W \sim \exp(-\chi^2 / (2\Theta)) $ 优化谱函数，平衡拟合精度与谱的平滑性。
• 以自旋 $ S^z $ 相关函数为主要可观测量，用于探测谱结构，适用于具有SU(2)对称性破缺的体系。
• 将该方法应用于海森堡自旋梯及双层反铁磁海森堡模型中的纠缠谱计算，实现了对二维纠缠区域的分析。

实验结果

研究问题

• RQ1 尽管存在指数级复杂性，是否能可靠地从量子蒙特卡洛模拟中提取低能纠缠谱？
• RQ2 李和哈尔丹提出的纠缠谱与边界能谱之间的对应关系，是否在无隙拓扑相之外依然成立？
• RQ3 在量子多体系统中，纠缠谱与边界能谱之间相似性的基本物理机制是什么？
• RQ4 体能隙与边界能隙的相对大小如何影响纠缠谱的结构？
• RQ5 路径积分形式中的虫洞效应是否能为理解能谱-纠缠谱关系提供统一的框架？

主要发现

• 随机解析延拓方法成功地从QMC模拟中提取了低能纠缠谱，使得对具有大纠缠区域和二维边界系统的研究成为可能。
• 海森堡自旋梯的QMC结果表明，低能纠缠谱与单根链的能谱高度吻合，支持了李和哈尔丹的猜想，且无有限尺寸效应影响。
• 路径积分中的虫洞效应提供了一个统一的物理图像，解释了纠缠谱与边界能谱之间的对应关系。
• 该方法的适用性已超越无隙拓扑相，如在双层反铁磁海森堡模型跨越(2+1)D O(3)量子相变时所展示的。
• 体能隙与边界能隙的相对强度决定了低能纠缠谱的行为，其中虫洞效应使体能隙被放大了 $ \beta $ 倍。
• 该框架为未来研究提供了可能：通过QMC中局部可观测量的时间演化，提取纠缠哈密顿量，开辟了新的研究方向。