[论文解读] Unobstructed deformations of generalized complex structures induced by $C^\infty$ logarithmic symplectic structures and logarithmic Poisson structures

Ryushi Goto|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2015

Geometry and complex manifolds参考文献 13被引用 6

一句话总结

本文引入了光滑流形上的 $C^{\text{\tiny{∞}}}$ 对数辛结构，作为全纯对数辛结构的微分几何类比。证明了当类型变换轨线为光滑时，此类结构所诱导的广义复结构具有由其补集的第二 de Rham 上同调参数化的无阻碍形变。关键结果表明，复曲面上具有光滑反 canonical 除子的广义复结构，以及某些复射影平面的连通和，其形变空间维数为 $12k + 2m - 3$，且形变无阻碍。该方法依赖于李代数丛上同调与 $d$-闭 $b$-场下的拓扑不变性，避免使用 Hodge 理论。

ABSTRACT

We shall introduce the notion of $C^\infty$ logarithmic symplectic structures on a differentiable manifold which is an analog of the one of logarithmic symplectic structures in the holomorphic category. We show that the generalized complex structure induced by a $C^\infty$ logarithmic symplectic structure has unobstructed deformations which are parametrized by an open set of the second de Rham cohomology group of the complement of type changing loci if the type changing loci are smooth. Complex surfaces with smooth effective anti-canonical divisors admit unobstructed deformations of generalized complex structures such as del pezzo surfaces and Hirzebruch surfaces. We also give some calculations of Poisson cohomology groups on these surfaces. Generalized complex structures ${\cal J}_m$ on the connected sum $(2k-1)\Bbb C P^2\# (10k-1)\ol {\Bbb C P^2}$ as in \cite{Cavalcanti_Gualtieri_2006}, \cite{Goto_Hayano} are induced by $C^\infty$ logarithmic symplectic structures modulo the action of $b$-fields and it turns out that {generalized complex structure}s ${\cal J}_m$ have unobstructed deformations of dimension $12k+2m-3$.}

研究动机与目标

• 定义光滑流形上的 $C^{\text{\tiny{∞}}}$ 对数辛结构，作为全 holomorphic 对数辛结构的微分几何类比。
• 建立由此类 $C^{\text{\tiny{∞}}}$ 对数辛结构所诱导的广义复结构的无阻碍形变理论。
• 计算 Poisson 上同调群，并将其与特定 4-流形中补集的 de Rham 上同调相关联。
• 将无阻碍性结果推广至如 $(2k-1)\mathbb{C}P^2\#(10k-1)\overline{\mathbb{C}P}^2$ 这类连通和上的广义复结构。

提出的方法

• 将 $C^{\text{\tiny{∞}}}$ 对数辛结构定义为在实余维数为 2 的光滑除子 $D$ 附近局部模型为 $\frac{dz_1}{z_1} \wedge dz_2 + \cdots$ 的复 2-形式。
• 通过复 2-形式 $\omega_{\mathbb{C}}$ 的指数构造广义复结构 $\mathcal{J}_\phi$，即 $\phi = e^{\omega_{\mathbb{C}}}$。
• 利用广义复结构的李代数丛上同调计算无穷小形变及其障碍。
• 证明广义复结构的李代数丛上同调 $H^k(\wedge^\bullet \overline{L}_{\mathcal{J}})$ 同构于类型变换轨线补集的 $H^k(M \setminus D, \mathbb{C})$。
• 应用上同调与无阻碍性的 $d$-闭 $b$-场作用下的不变性，将问题约化为在 $M \setminus D$ 上的上同调计算。
• 使用 $C^{\text{\tiny{∞}}}$ 对数变换与纤维化（如椭圆纤维化 $E(k)$）在 4-流形如 $(2k-1)\mathbb{C}P^2\#(10k-1)\overline{\mathbb{C}P}^2$ 上构造广义复结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，由 $C^{\text{\tiny{∞}}}$ 对数辛结构所诱导的广义复结构具有无阻碍形变？
• RQ2 对数 Poisson 结构的 Poisson 上同调群与其零点集补集的 de Rham 上同调之间有何关系？
• RQ3 如 del Pezzo 曲面及 $\mathbb{C}P^2$ 与 $\overline{\mathbb{C}P}^2$ 的连通和等 4-流形上，广义复结构的形变空间维数是多少？
• RQ4 能否仅通过拓扑不变量而非 Hodge 理论来建立无阻碍性？
• RQ5 广义复结构在 4-流形上的形变空间在多大程度上由 $H^2(M \setminus D, \mathbb{C})$ 参数化？

主要发现

• 当类型变换轨线为光滑时，由 $C^{\text{\tiny{∞}}}$ 对数辛结构所诱导的广义复结构具有由 $H^2(M \setminus D, \mathbb{C})$ 的开子集参数化的无阻碍形变。
• 对于具有光滑有效反 canonical 除子的复曲面（如 del Pezzo 与 Hirzebruch 曲面），所诱导的广义复结构具有无阻碍形变。
• 对数 Poisson 结构 $\beta$ 的 Poisson 上同调群同构于 de Rham 上同调群 $H^k(M \setminus D, \mathbb{C})$。
• 在连通和 $(2k-1)\mathbb{C}P^2\#(10k-1)\overline{\mathbb{C}P}^2$ 上，广义复结构 $\mathcal{J}_m$ 具有维数为 $12k + 2m - 3$ 的无阻碍形变。
• 对于此类结构，李代数丛上同调 $H^k(\wedge^\bullet \overline{L}_{\mathcal{J}})$ 同构于 $H^k(M \setminus D, \mathbb{C})$，确认了上同调参数化的合理性。
• 形变空间维数 $12k + 2m - 3$ 来源于 $\dim H^2(E(k)) = 12k - 2$，$\dim H^1(D) = 2m$，以及局部上同调中限制映射像的 $-1$ 修正项。