[论文解读] Unobstructed Immersed Lagrangian Correspondence and Filtered $A_{\infty}$ Functor

Kenji Fukaya|arXiv (Cornell University)|Jun 7, 2017

Geometric and Algebraic Topology参考文献 21被引用 20

一句话总结

本文構造了一個從無障礙浸入的 Weinstein 2-範疇到過濾 $A_{\infty}$ 範疇的 2-函子，推廣了 Wehrheim-Woodward 與 Mau’s-Wehrheim-Woodward 的早期結果。它證明了在 Floer 理論中，浸入拉格朗日子對應保持無障礙性，方法包括 Yoneda 函子、同調代數引理，以及在緊緻、相對自旋設定下 Lekili-Lipyanskiy 的 Y-圖形構造。

ABSTRACT

In this paper, we 'construct' a 2-functor from the unobstructed immersed Weinstein category to the category of all filtered $A_{\infty}$ categories. We consider arbitrary (compact) symplectic manifolds and its arbitrary (relatively spin) immersed Lagrangian submanifolds. The filtered $A_{\infty}$ category associated to $(X,ω)$ is defined by using Lagrangian Floer theory in such generality, see Akaho-Joyce (2010) and Fukaya-Oh-Ohta-Ono (2009). The morphism of unobstructed immersed Weinstein category (from $(X_1,ω_1)$ to $(X_2,ω_2)$) is by definition a pair of an immersed Lagrangian submanifold of the direct product and its bounding cochain (in the sense of Akaho-Joyce (2010) and Fukaya-Oh-Ohta-Ono (2009)). Such a morphism transforms an (immersed) Lagrangian submanifold of $(X_1,ω_1)$ to one of $(X_2,ω_2)$. The key new result proved in this paper shows that this geometric transformation preserves unobstructedness of the Lagrangian Floer theory. Thus, this paper generalizes earlier results by Wehrheim-Woodward and Mau's-Wehrheim-Woodward so that it works in complete generality in the compact case. The main idea of the proofs are based on Lekili-Lipyanskiy's Y diagram and a lemma from homological algebra, together with systematic use of Yoneda functor. In other words, the proofs are based on a different idea from those which are studied by Bottmann-Mau's-Wehrheim-Woodward, where strip shrinking and figure 8 bubble plays the central role.

研究动机与目标

• 將浸入拉格朗日子對應理論推廣至辛拓撲中的通用 2-函子框架。
• 建立拉格朗日 Floer 理論中無障礙性在透過浸入拉格朗日子對應進行幾何複合時的保持性。
• 將 Wehrheim-Woodward 與 Mau’s-Wehrheim-Woodward 的先前結果推廣至任意緊緻辛流形與相對自旋的浸入拉格朗日子流形。
• 提出一個系統性的框架，使用過濾 $A_{\infty}$ 範疇與界係數，以處理浸入拉格朗日子流形。
• 以同調代數與 Yoneda 嵌入取代條紋收縮與 Figure-8 泡泡技術，作為基礎方法。

提出的方法

• 該構造使用 Yoneda 函子將拉格朗日 Floer 理論嵌入過濾 $A_{\infty}$ 範疊的範疊中。
• 一個關鍵技術工具是同調代數引理，確保界係數在複合下的相容性。
• 本文採用 Lekili-Lipyanskiy 的 Y-圖形來建模在乘積流形中拉格朗日子對應的複合。
• 2-函子定義在由浸入拉格朗日子流形（配備界係數）給出的態射上，如 Akaho-Joyce (2010) 與 Fukaya-Oh-Ohta-Ono (2009) 所定義。
• 證明依賴於系統性使用 Yoneda 嵌入，以追蹤複合過程中的無障礙性。
• 該框架運作於緊緻、相對自旋設定下，確保 $A_{\infty}$ 結構的明確定義。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 Floer 理論框架下，無障礙浸入拉格朗日子對應的複合是否仍保持無障礙？
• RQ2 能否系統性地構造一個從無障礙浸入 Weinstein 範疊到過濾 $A_{\infty}$ 範疊的 2-函子？
• RQ3 Yoneda 函子與同調代數工具如何在此脈絡中取代條紋收縮與 Figure-8 泡泡等幾何技術？
• RQ4 該理論在多大程度上可推廣至超越 Wehrheim-Woodward 與 Mau’s-Wehrheim-Woodward 所處設定的範圍？
• RQ5 在拉格朗日子對應上，何種條件可確保界係數能將無障礙性提升至目標流形？

主要发现

• 本文構造了一個從無障礙浸入 Weinstein 範疊到過濾 $A_{\infty}$ 範疊的 2-函子，適用於所有緊緻辛流形與相對自旋的浸入拉格朗日子流形。
• 透過在乘積流形中以浸入拉格朗日子流形進行的拉格朗日子對應的幾何複合，保持了相關 Floer 理論的無障礙性。
• 證明依賴於同調代數引理與系統性使用 Yoneda 函子，提供了一種與條紋收縮及 Figure-8 泡泡方法不同的新方法。
• 該框架在緊緻情形下，將 Wehrheim-Woodward 與 Mau’s-Wehrheim-Woodward 的先前結果推廣至完全一般性。
• 該構造與 Akaho-Joyce (2010) 及 Fukaya-Oh-Ohta-Ono (2009) 所定義的過濾 $A_{\infty}$ 範疊結構相容。
• 理論在 $A_{\infty}$-範疊與界係數的語境下完全形式化，確保在複合下的一致性。