[论文解读] Unramified Brauer groups for groups of order p^5

Akinari Hoshi, Ming-chang Kang|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2011

Finite Group Theory Research参考文献 7被引用 9

一句话总结

本文提供了理论性证明——不依赖计算机计算——表明对于任意奇素数 $ p $，存在阶为 $ p^5 $ 的非交换 $ p $-群，其非分歧布饶尔群 $ B_0(G) \neq 0 $，特别是满足 $ G/[G,G] \cong C_p \times C_p $ 的群。这表明在 $ \mathbb{C} $ 上，诺特问题对该类群有否定答案，即 $ \mathbb{C}(G) $ 不是有理函数域，从而解决了此前通过计算机验证但未证明的 $ p = 3,5,7 $ 情况。该构造使用显式群表示和上同调方法计算博戈莫洛夫乘子。

ABSTRACT

Let $k$ be any field, $G$ be a finite group acting on the rational function field $k(x_g : g\in G)$ by $h\cdot x_g=x_{hg}$ for any $h,g\in G$. Define $k(G)=k(x_g : g\in G)^G$. Noether's problem asks whether $k(G)$ is rational (= purely transcendental) over $k$. It is known that, if $\bC(G)$ is rational over $\bC$, then $B_0(G)=0$ where $B_0(G)$ is the unramified Brauer group of $\bC(G)$ over $\bC$. Bogomolov showed that, if $G$ is a $p$-group of order $p^5$, then $B_0(G)=0$. This result was disproved by Moravec for $p=3,5,7$ by computer computing. We will give a theoretic proof of the following theorem (i.e. by the traditional bare-hand proof without using computers). Theorem. Let $p$ be any odd prime number. Then there is a group $G$ of order $p^5$ satisfying $B_0(G) eq 0$ and $G/[G,G] \simeq C_p imes C_p$. In particular, $\bC(G)$ is not rational over $\bC$.

研究动机与目标

• 提供关于存在阶为 $ p^5 $ 的群且非分歧布饶尔群 $ B_0(G) \neq 0 $ 的理论性、非计算性证明，以反驳此前对 $ p = 3,5,7 $ 的计算机结果。
• 建立对于任意奇素数 $ p $，存在阶为 $ p^5 $ 的群 $ G $ 满足 $ G/[G,G] \cong C_p \times C_p $ 且 $ B_0(G) \neq 0 $，从而推出 $ \mathbb{C}(G) $ 在 $ \mathbb{C} $ 上不是有理函数域。
• 通过使用群表示和上同调不变量，构造此类群的显式族，以扩展对非交换 $ p $-群上诺特问题的理解。
• 通过博戈莫洛夫乘子的定义，即对所有双循环子群 $ A \leq G $，从 $ H^2(G, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}) $ 到 $ H^2(A, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}) $ 的限制映射核的交集，阐明 $ B_0(G) $ 的结构。

提出的方法

• 作者通过生成元 $ f_1, \dots, f_5 $、涉及交换子和 $ p $-次幂的关系式，以及中心 $ \langle f_5 \rangle $，定义了三族群 $ G(1|p) $、$ G_r(2|p) $ 和 $ G_r(3|p) $，适用于 $ p \geq 5 $。
• 他们利用博戈莫洛夫与萨尔特曼建立的上同调刻画，将非分歧布饶尔群 $ B_0(G) $ 表示为所有双循环子群 $ A \leq G $ 上限制映射 $ \mathrm{res}^A_G: H^2(G, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}) \to H^2(A, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}) $ 的核的交集。
• 证明应用了引理 2.2（虽未完整陈述，但暗示用于验证 $ B_0(G) $ 的非平凡性），通过检查某些上同调类在限制映射下不为零来实现。
• 该构造依赖于模 $ p $ 的本原根的选择，用于定义群关系中的非平凡 $ p $-次幂，从而确保不同参数 $ r $ 下群的非同构性。
• 通过分析其幂零类、中心和交换子结构，证明了不同 $ (p,r) $-对下的群互不同构。
• 作者通过验证这些群在任意双循环子群上的限制下，其上同调类不消失，从而确认其满足 $ B_0(G) \neq 0 $ 的条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于任意奇素数 $ p $，是否存在阶为 $ p^5 $ 的群 $ G $，满足 $ G/[G,G] \cong C_p \times C_p $ 且 $ B_0(G) \neq 0 $？
• RQ2 此类群的 $ B_0(G) $ 非平凡性能否在不依赖计算机代数系统的情况下证明，如莫拉维茨此前对 $ p = 3,5,7 $ 所做的那样？
• RQ3 群族 $ G(1|p) $、$ G_r(2|p) $ 和 $ G_r(3|p) $ 是否为所有阶为 $ p^5 $ 且 $ B_0(G) \neq 0 $ 的群？
• RQ4 具有 $ B_0(G) \neq 0 $ 的非同构 $ p^5 $-群的总数是多少？其依赖于 $ p $ 的方式如何？
• RQ5 群表示和交换子关系如何影响博戈莫洛夫乘子的结构？

主要发现

• 对于任意奇素数 $ p $，存在阶为 $ p^5 $ 的群 $ G $，满足 $ G/[G,G] \cong C_p \times C_p $ 且 $ B_0(G) \neq 0 $，从而为 $ \mathbb{C} $ 上的诺特问题提供理论反例。
• 群 $ G(1|p) $，由特定交换子关系及 $ f_1^p = 1 $、$ f_i^p = 1 $（$ i \geq 2 $）定义，当 $ p \geq 5 $ 时满足 $ B_0(G) \neq 0 $。
• 族 $ G_r(2|p) $ 和 $ G_r(3|p) $，以 $ r $ 为参数，对不同的 $ r $ 互不同构，且当 $ p \geq 5 $ 时，每个性质均满足 $ B_0(G) \neq 0 $。
• 满足 $ B_0(G) \neq 0 $ 的此类群的总数为 $ 1 + \gcd\{4, p-1\} + \gcd\{3, p-1\} $，即 $ 1 + c_2 + c_3 $，其中 $ c_2 = \gcd\{4,p-1\} - 1 $，$ c_3 = \gcd\{3,p-1\} - 1 $。
• 这些群分别是同构类 $ \Phi_{10}(1^5) $、$ \Phi_{10}(2111)a_r $ 和 $ \Phi_{10}(2111)b_r $ 中唯一满足 $ B_0(G) \neq 0 $ 的群，如文献 [Be] 和 [Ja] 所分类。
• 为 $ 5 \leq p \leq 37 $ 提供了这些群的 GAP 代码编号，其中 $ G(p^5, i) $ 表示数据库中阶为 $ p^5 $ 的第 $ i $ 个群。