[论文解读] Unrelated machine scheduling of jobs with uniform smith ratios

Christos Kalaitzis, Ola Svensson+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 16, 2017

Scheduling and Optimization Algorithms被引用 4

一句话总结

本文提出了一种针对无关机器上具有统一Smith比率的作业调度问题的1.21-近似算法，以最小化加权完成时间之和，采用改进的Shmoys-Tardos舍入方案对Configuration-LP松弛问题进行求解。该方法还为makespan目标提供了双准则2-近似解，其紧致分析将最坏情况成本简化为简单且可分析的实例。

ABSTRACT

We consider the classic problem of scheduling jobs on unrelated machines so as to minimize the weighted sum of completion times. Recently, for a small constant e > 0, Bansal et al. gave a (3/2 − e)-approximation algorithm improving upon the barrier of 3/2 which follows from independent randomized rounding. In simplified terms, their result is obtained by an enhancement of independent randomized rounding via strong negative correlation properties.In this work, we take a different approach and propose to use the same elegant rounding scheme for the weighted completion time objective as devised by Shmoys and Tardos for optimizing a linear function subject to makespan constraints. Our main result is a 1.21-approximation algorithm for the natural special case where the weight of a job is proportional to its processing time (specifically, all jobs have the same Smith ratio), which expresses the notion that each unit of work has the same weight. In addition, as a direct consequence of the rounding, our algorithm also achieves a bi-criteria 2-approximation for the makespan objective. Our technical contribution is a tight analysis of the expected cost of the solution compared to the one given by the Configuration-LP relaxation - we reduce this task to that of understanding certain worst-case instances which are simple to analyze.

研究动机与目标

• 解决在无关机器上最小化加权完成时间之和的调度问题，重点关注所有作业具有相同Smith比率的特殊情况。
• 通过引入一种专为统一Smith比率设计的新舍入技术，突破该目标的3/2近似界限。
• 作为舍入方案的副产品，获得makespan目标的双准则近似解。
• 对舍入解的期望成本相对于Configuration-LP松弛问题的最优解进行紧致分析，将最坏情况实例简化为可分析的形式。

提出的方法

• 采用针对在makespan约束下最小化线性函数的Shmoys-Tardos舍入方案，并将其适配到加权完成时间目标。
• 将该舍入方法应用于Configuration-LP松弛问题，该问题对机器上的可行作业分配及容量约束进行建模。
• 通过对比舍入解的期望成本与最优Configuration-LP解，分析其期望成本，重点关注最坏情况实例。
• 将最坏情况场景表征为简单且结构化的实例，使其在分析上可处理，从而实现近似比的紧致界。
• 利用Smith比率的统一性（即权重与处理时间成比例）简化分析过程，提升近似保证。
• 通过观察相同舍入过程可产生makespan至多为最优makespan两倍的解，建立makespan的双准则近似。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有统一Smith比率的无关机器调度问题，能否获得优于3/2的更紧近似比？
• RQ2 当将Shmoys-Tardos舍入方案应用于加权完成时间目标的Configuration-LP松弛问题时，其表现如何？
• RQ3 舍入解的期望成本相对于Configuration-LP最优解的最坏行为表现如何？
• RQ4 通过将最坏情况实例简化为可处理的配置类别，能否简化舍入方案的分析？
• RQ5 该舍入方案对makespan目标提供了哪些双准则近似保证？

主要发现

• 所提出的算法在所有作业具有相同Smith比率时，实现了最小化加权完成时间之和的1.21-近似解。
• 该舍入方案为makespan目标提供了双准则2-近似解，即解的makespan至多为最优makespan的两倍。
• 对期望成本的分析被简化为研究一小类简单且可分析的最坏情况实例。
• 通过紧致分析Configuration-LP松弛问题并利用Smith比率的统一性，实现了1.21的近似比。
• 通过采用与以往基于强负相关性的方法不同的舍入策略，该方法在该特殊情况下突破了3/2的界限。
• 该方法表明，统一的Smith比率可提供强于一般无关机器调度问题的更强近似保证。