[论文解读] Unrestricted State Complexity of Binary Operations on Regular and Ideal Languages

Janusz Brzozowski, Corwin Sinnamon|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2016

semigroups and automata theory参考文献 13被引用 6

一句话总结

本文重新探討了在不同字母表上定义的正则语言和理想语言的二元运算状态复杂度，表明当语言定义在不同字母表上时（此前的标准分析中被忽略），其状态复杂度界限与经典的相同字母表情形显著不同。主要贡献在于在无限制（不同字母表）设置下，为并、交、差、对称差和连接运算建立了紧致的界限，其中乘积运算可达 $ m2^n + 2^{n-1} $ 个状态，并证明这些界限同样适用于右理想、左理想和双边理想。

ABSTRACT

We study the state complexity of binary operations on regular languages over different alphabets. It is known that if $L'_m$ and $L_n$ are languages of state complexities $m$ and $n$, respectively, and restricted to the same alphabet, the state complexity of any binary boolean operation on $L'_m$ and $L_n$ is $mn$, and that of product (concatenation) is $m 2^n - 2^{n-1}$. In contrast to this, we show that if $L'_m$ and $L_n$ are over different alphabets, the state complexity of union and symmetric difference is $(m+1)(n+1)$, that of difference is $mn+m$, that of intersection is $mn$, and that of product is $m2^n+2^{n-1}$. We also study unrestricted complexity of binary operations in the classes of regular right, left, and two-sided ideals, and derive tight upper bounds. The bounds for product of the unrestricted cases (with the bounds for the restricted cases in parentheses) are as follows: right ideals $m+2^{n-2}+2^{n-1}$ ($m+2^{n-2}$); left ideals $mn+m+n$ ($m+n-1$); two-sided ideals $m+2n$ ($m+n-1$). The state complexities of boolean operations on all three types of ideals are the same as those of arbitrary regular languages, whereas that is not the case if the alphabets of the arguments are the same. Finally, we update the known results about most complex regular, right-ideal, left-ideal, and two-sided-ideal languages to include the unrestricted cases.

研究动机与目标

• 分析当语言定义在不同字母表上（而非标准的相同字母表假设）时，正则语言上二元运算（并、交、差、对称差、乘积）的状态复杂度。
• 将分析扩展至正则右理想、左理想和双边理想的类，推导出这些子类在无限制情形下的紧致状态复杂度界限。
• 证明在不同字母表情形下，经典基于相同字母表限制推导出的界限不足且可能错误。
• 通过纳入无限制情形，更新最复杂语言理论，表明布尔运算在理想上的复杂度界限与一般正则语言相同，但乘积运算的界限更高。
• 表明在并集字母表上向不完整DFA添加一个空状态，可为无限制情形下的状态复杂度计算提供一致的框架。

提出的方法

• 将不同字母表上的语言建模为在字母表并集上的不完整DFA，其在非自身字母表中的字母上缺少转移。
• 通过添加一个单一的空（吸收）状态来完成这些不完整DFA，从而得到 $ m+1 $ 和 $ n+1 $ 个状态的DFA。
• 对完成后的DFA应用标准的直接积构造，以计算二元运算的状态复杂度。
• 使用商复杂度和状态可区分性论证来证明所推导界限的紧致性，包括等价类和区分词的分析。
• 构造特定的见证语言（例如 $ L_m(a,b,-,-,e,f) $）以在理想类中实现乘积和布尔运算的上界。
• 利用已知的语法半群大小、反转复杂度和原子复杂度结果，验证所构造序列的最大性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当语言定义在不同字母表上时，正则语言上二元运算（并、交、差、对称差、乘积）的状态复杂度是多少？
• RQ2 在无限制（不同字母表）情形下，右理想、左理想和双边理想的布尔运算状态复杂度界限与经典相同字母表情形相比如何？
• RQ3 在无限制情形下，是否能在理想上实现与一般正则语言相同的布尔运算紧致界限？
• RQ4 在无限制右理想、左理想和双边理想上，乘积运算的最大状态复杂度是多少？与受限情形相比如何？
• RQ5 经典最复杂正则语言的见证是否在扩展至不同字母表的无限制情形下仍保持最复杂性？

主要发现

• 在不同字母表上，语言的并和对称差的状态复杂度为 $ (m+1)(n+1) $，高于相同字母表假设下的经典 $ mn $ 界限。
• 差运算的状态复杂度为 $ mn + m $，交运算为 $ mn $，两者均高于相同字母表情形下的经典 $ mn $ 界限。
• 在不同字母表上，连接（乘积）运算的状态复杂度为 $ m2^n + 2^{n-1} $，超过经典界限 $ (m-1)2^n + 2^{n-1} $。
• 对于右理想，无限制乘积复杂度为 $ m + 2^{n-2} + 2^{n-1} $，严格高于受限界限 $ m + 2^{n-2} $。
• 对于左理想，无限制乘积复杂度为 $ mn + m + n $，远高于受限界限 $ m + n - 1 $。
• 对于双边理想，无限制乘积复杂度为 $ m + 2n $，再次超过受限界限 $ m + n - 1 $，且所有界限均为紧致的。