[论文解读] Unsteady phase waves in the 1D swarmalator model with inertia

Kevin O'Keeffe|arXiv (Cornell University)|Mar 13, 2026

Nonlinear Dynamics and Pattern Formation被引用 0

一句话总结

该论文分析带惯性的1D群体振荡器模型，发现一种新的不稳定的“扭摆”相位波，来自次临界Hopf分支，同时保持异步和同步状态的稳定性阈值不变。

ABSTRACT

We study a one-dimensional swarmalator model with inertia. Previous studies have focused almost exclusively on the overdamped limit. We find inertia introduces a new unsteady collective state in which the rainbow order parameters undergo multiharmonic oscillations. This "thrashing" phase wave bifurcates from the model's static phase wave state through a subcritical Hopf bifurcation that coincides with a saddle-node of limit cycles. The wave itself exists in clockwise and counterclockwise symmetric pairs. For small populations we observe attractor switching between these chiral states, while for larger systems the dynamics settle onto a single branch.

研究动机与目标

• 理解惯性如何在群体振荡器系统中定性改变集体动力学。
• 证明惯性会诱导 overdamped 模型中不存在的非稳态相位波状态。
• 表征扭摆相位波及其分岔结构。
• 在惯性设置中确定异步、同步和相位波状态的稳定性阈值。
• 探讨小系统的有限尺寸效应与手性切换。

提出的方法

• 从具有空间和相位惯性的1D群体振荡器模型出发：m ẍi + ẋi = ωi' + (J'/N) ∑ sin(xj−xi) cos(θj−θi); m θ̈i + θ̇i = νi' + (K'/N) ∑ sin(θj−θi) cos(xj−xi)。
• 转换为和/差坐标（ξi = xi+θi, ηi = xi−θi）以得到 U = re^{iφ} = ⟨e^{iξ}⟩ 与 V = se^{iψ} = ⟨e^{iη}⟩ 的耦合方程。
• 令各点频率相同并设 ωi = νi = 0 将简化为 m ξ̈i + ξ̇i = −Kr sinξi − Js sinηi 与 m η̈i + η̇i = −Jr sinξi − Ks sinηi。
• 在同步、异步与相位波状态周围进行线性稳定性分析，并进行数值仿真以绘制状态图（K, m）。
• 推导Hopf分岔条件，显示存在与极限环的鞍结(subcritical Hopf with saddle-node of limit cycles)，并计算相位波的Hopf边界 mH(K) 与 KH(m)（在相位波的情况下）。

Figure 1: Collective states of the inertial 1D swarmalator model, Eqs. (1)–(2).. Top row: snapshots of swarmalators in the $(\xi_{i},\eta_{i})$ plane. Bottom row: time series of the rainbow order parameters $r=|\langle e^{i\xi}\rangle|$ , $s=|\langle e^{i\eta}\rangle|$ , and the normalized mean spee

实验结果

研究问题

• RQ1 惯性（非零 m）如何影响1D群体振荡器模型中异步、同步和相位波状态的稳定性？
• RQ2 除了过阻尼行为外，惯性带来哪些新的动力学状态？
• RQ3 从相位波到不稳态扭摆状态的分岔性质是什么？
• RQ4 有限尺寸效应如何影响顺时针与逆时针相位波之间的手性切换？

主要发现

• 惯性保持异步和同步稳定性阈值不变，但使相位波不稳定。
• 出现新的扭摆相位波，虹彩序参量 r 和 s 展现多谐振荡。
• 扭摆相位波通过次临界Hopf分支从静态相位波分岔并伴随极限环的鞍结。
• 相位波在对称的顺时针与逆时针对中存在；小 N 时会在手性状态之间切换吸引子，较大 N 时趋于单一分支。
• Hopf 边界及相关阈值可解析预测（同步时为 Kc = J；KH(m) 由 mH(K) = 4K/(8J^2−9K^2) 给出；归一化时 J=1）。
• 吸引子切换的数值鲁棒性在多种积分器（RK45、DOP853、Radau）下得到验证，对小 N 保持成立但随 N 增大而消失。

Figure 2: Order parameters $r$ , $s$ , and $v/v_{\max}$ as a function of coupling $K$ , for $m=0.5$ , $J=1$ , $N=500$ . Each point is averaged over 5 random initial conditions. Simulations used RK45 with $dt=0.05$ , total time $T=2000$ , and transient $T_{\rm trans}=1000$ discarded.