[论文解读] Unsteady separation for the inviscid two-dimensional Prandtl's system

Charles Collot, Tej‐Eddine Ghoul+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 19, 2019

Fluid Dynamics and Turbulent Flows参考文献 29被引用 6

一句话总结

本文分析了非定常、无粘性二维Prandtl系统，推导出正则解的最大存在时间的精确表达式，并指出奇异性仅出现在边界或涡量为零的位置。文章提出了用于反向自相似解的新型拉格朗日公式，证明了对于任意给定的外部Euler流，基本的Van-Dommelen–Shen奇异性具有普遍性，从而为研究拟线性输运方程中的奇异性提供了一个新框架。

ABSTRACT

We consider the inviscid unsteady Prandtl's system in two dimensions, motivated by the fact that it should model to leading order separation for the original viscous system. We give a sharp expression for the maximal time of existence of regular solutions, showing singularities only happen at the boundary or on the set of zero vorticity. We then exhibit new Lagrangian formulae for backward self-similar profiles, and study them also on the Eulerian side with a different approach that was initiated by Elliott-Smith-Cowley and Cassel-Smith-Walker. One particular profile is the fundamental one, which at the heart of the so-called Van-Dommelen and Shen singularity, and we prove its generic appearance for any prescribed Eulerian outer flow. We comment on the connexion between these results and the full viscous Prandtl's system. This paper designs a new way to study singularities for quasilinear transport equations.

研究动机与目标

• 理解非定常、无粘性二维Prandtl系统中正则解的最大存在时间。
• 刻画奇异性的位置与性质，表明其仅出现在边界或涡量为零的位置。
• 为Prandtl系统中的反向自相似轮廓构建新的拉格朗日公式。
• 确立对于任意给定外部Euler流，基本Van-Dommelen–Shen奇异性具有普遍出现性。
• 将这些发现与完整的粘性Prandtl系统联系起来，并为分析拟线性输运方程中的奇异性提供新方法。

提出的方法

• 通过能量估计与边界层分析，推导出正则解最大存在时间的精确表达式。
• 提出新型拉格朗日公式，用于描述无粘性Prandtl系统中的反向自相似轮廓。
• 采用与Elliott-Smith-Cowley及Cassel-Smith-Walker不同的方法，分析欧拉侧的轮廓。
• 利用渐近分析与自相似性，识别出Van-Dommelen–Shen奇异性背后的基底轮廓。
• 通过证明该基底轮廓对任意给定的外部Euler流均能出现，确立其普遍性。
• 通过Prandtl系统作为模型，提出一种分析拟线性输运方程中奇异性的新方法论框架。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非定常、无粘性二维Prandtl系统中，正则解的最大存在时间是什么？
• RQ2 该系统中奇异性在何处以及在何种条件下形成？
• RQ3 能否证明基本Van-Dommelen–Shen奇异性对任意外部Euler流均具有普遍出现性？
• RQ4 在此背景下，自相似轮廓的拉格朗日描述与欧拉描述之间有何关系？
• RQ5 该分析对完整的粘性Prandtl系统提供了哪些新见解？

主要发现

• 在非定常无粘性Prandtl系统中，奇异性仅出现在边界或涡量为零的集合上。
• 推导出正则解的最大存在时间的精确表达式，其依赖于初始数据与边界条件。
• 构建了用于反向自相似轮廓的新拉格朗日公式，使得奇异性形成过程得以详细分析。
• 对于任意给定的外部Euler流，基本Van-Dommelen–Shen轮廓均普遍出现，证实了其核心作用。
• 本研究建立了一套分析拟线性输运方程中奇异性的新方法论框架。
• 研究结果为无粘性Prandtl系统与完整粘性系统之间的联系提供了更清晰的理解，尤其在分离动力学方面。