[论文解读] Unsupervised Deep Learning Algorithm for PDE-based Forward and Inverse Problems

Leah Bar, Nir Sochen|arXiv (Cornell University)|Apr 10, 2019

Numerical methods in inverse problems被引用 45

一句话总结

本文提出一种网格自由、无监督的神经网络框架，通过训练网络以满足偏微分方程（PDE）及边界条件，来解决前向和反向PDE问题，在二维椭圆系统与 Electrical Impedance Tomography 上给出演示。

ABSTRACT

We propose a neural network-based algorithm for solving forward and inverse problems for partial differential equations in unsupervised fashion. The solution is approximated by a deep neural network which is the minimizer of a cost function, and satisfies the PDE, boundary conditions, and additional regularizations. The method is mesh free and can be easily applied to an arbitrary regular domain. We focus on 2D second order elliptical system with non-constant coefficients, with application to Electrical Impedance Tomography.

研究动机与目标

• 推动在无标注数据的情况下解决前向和反PDE问题。
• 在标准的L2一致性基础上扩展一个类似L-infinity的项，以更好地处理异常值。
• 引入可适配的正则化项以注入先验求解知识。
• 在任意规则域上实现网格自由求解，并在EIT上给出演示。

提出的方法

• 用由 w_u、w_ij、w_c 参数化的神经网络近似PDE解 u 及系数。
• 通过最小化一个同时强制PDE、边界条件和正则化项的代价函数进行训练（无监督）。
• 使用结合L2一致性项与残差的L-infinity-like项的代价，以缓解零测集问题和异常值。
• 允许整合特定问题的正则化项 R^F 和 R^I 来编码先验知识。
• 应用网格自由采样方法：领域内和边界上的随机点引导优化。
• 在二维二阶椭圆系统上给出演示，聚焦于Electrical Impedance Tomography (EIT)。

实验结果

研究问题

• RQ1 无监督神经网络是否能够在满足方程和边界条件的同时可靠地求解前向PDE问题？
• RQ2 是否可以用同一网络框架通过从观测数据学习系数来解决反PDE问题？
• RQ3 包含类似L-infinity的残差项对解的精度和边界锐度有何影响？
• RQ4 网格自由方法在自由形状域上的处理能力以及通过正则化项引入先验的效果如何？

主要发现

• 前向问题：网络在多组电流下获得准确的u；报告的MSE和PSNR表明高保真度（例如 phantom 1：MSEs 3.15e-3, 1.33e-3, 6.93e-4，PSNRs 37.26, 36.12, 35.76）。
• 前向问题：phantom 1/2 的结果显示导数精度提升，导数的MSE在1e-8量级，PSNR约31–37，视设定而定。
• 加入L-infinity项提高锐度与边界分辨（如导数重建在有L_infty项时更清晰，PSNR/MSE改善）。
• 反问题：对比传导率重建在phantom测试中MSE约为0.22–0.26，PSNR在6–7范围内，表明具备定性重建能力。
• 该方法保持网格自由，并允许正则化项（例如总变差）在反问题中促进分段常数解。