[论文解读] Uo-convergence and its applications to Cesàro means in Banach lattices

Niushan Gao, Vladimir G. Troitsky+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2015

Advanced Banach Space Theory参考文献 26被引用 29

一句话总结

本文在Banach格中引入并分析了uo-收敛（无界序收敛），建立了其在正规子格下的稳定性，并利用它统一和推广了关于Cesàro平均、Komlós型定理以及Banach-Saks性质的结果。主要贡献在于提出了Komlós定理的内在、无测度的表述形式，以及一种新的序理论框架，从而为泛分析与算子理论中的经典结果提供了简短而直接的证明。

ABSTRACT

A net $(x_α)$ in a vector lattice $X$ is said to uo-converge to $x$ if $|x_α-x|\wedge u\xrightarrow{ m o}0$ for every $u\ge 0$. In the first part of this paper, we study some functional-analytic aspects of uo-convergence. We prove that uo-convergence is stable under passing to and from regular sublattices. This fact leads to numerous applications presented throughout the paper. In particular, it allows us to improve several results in [26,27]. In the second part, we use uo-convergence to study convergence of Cesàro means in Banach lattices. In particular, we establish an intrinsic version of Komlós' Theorem, which extends the main results of [35,16,31] in a uniform way. We also develop a new and unified approach to Banach-Saks properties and Banach-Saks operators based on uo-convergence. This approach yields, in particular, short direct proofs of several results in [21,24,25].

研究动机与目标

• 发展向量格与Banach格中uo-收敛的泛函分析理论。
• 建立uo-收敛在正规子格与序完备化下的稳定性。
• 应用uo-收敛来扩展和统一Banach格中关于Cesàro平均与收敛性的结果。
• 为研究Banach-Saks性质与算子提供一种新的序理论框架。
• 为Komlós型定理与Banach-Saks算子的控制结果提供内在的、无测度的表述形式。

提出的方法

• 将uo-收敛定义为：$ x_\alpha \xrightarrow{\text{uo}} x $ 当且仅当对所有 $ u \geq 0 $，有 $ |x_\alpha - x| \wedge u \xrightarrow{\text{o}} 0 $。
• 证明正规子格保持序收敛与uo-收敛，从而实现子格与其完备化之间结果的传递。
• 通过具有严格正泛函的AL-表示，将uo-收敛与$ L_1 $-空间中的几乎处处收敛联系起来。
• 通过uo-收敛在Banach格中引入预-Komlós与Komlós性质，推广了依赖测度的结果。
• 应用uo-收敛通过Cesàro平均与几乎序有界性来刻画Banach-Saks与弱Banach-Saks算子。
• 利用uo-理论框架，导出正Banach-Saks算子控制结果的简短而直接的证明。

实验结果

研究问题

• RQ1 uo-收敛在正规子格与序完备化下如何表现？
• RQ2 能否在不依赖测度论假设的前提下，形式化Komlós型定理的内在版本？
• RQ3 uo-收敛在多大程度上能统一并简化Banach格中Cesàro平均的理论？
• RQ4 uo-收敛能否为Banach-Saks性质与算子的经典结果提供新的、更短的证明？
• RQ5 通过uo-理论方法，弱Banach-Saks算子控制的必要与充分条件是什么？

主要发现

• 子格 $ Y $ 是 $ X $ 的正规子格当且仅当 $ X $ 与 $ Y $ 中的uo-收敛一致，从而可从先前结果中去除序完备性假设。
• 任意向量格中的不相交序列均uo-收敛于零，且 $ x_\alpha \xrightarrow{\text{uo}} x $ 当且仅当对某弱单位 $ w $，有 $ |x_\alpha - x| \wedge w \xrightarrow{\text{o}} 0 $。
• Banach格具有正Schur性质当且仅当每个uo-零序列与弱零序列均为范数零序列。
• 在具有序连续泛函 $ h $ 的AL-表示中，$ X $ 中的uo-收敛对应于 $ L_1(\mu) $ 中的几乎处处收敛。
• Banach格中的预-Komlós与Komlós性质通过uo-收敛得到内在刻画，推广了[31, 16, 35]中的结果。
• 定理6.17通过Cesàro平均的uo-收敛性，为Banach-Saks与弱Banach-Saks算子提供了新刻画，从而可简短证明控制结果，包括正算子的推论6.18。