[论文解读] Up-down ordered Chinese restaurant processes with two-sided immigration, emigration and diffusion limits

Quan Shi, Matthias Winkel|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2020

Migration, Ethnicity, and Economy参考文献 43被引用 5

一句话总结

本文提出了一类三参数的上下有序中国餐馆过程（PCRP）家族，具有双向移民与迁出机制，推广了现有模型。其建立了自相似扩散极限——SSIP^{(α)}(θ₁,θ₂)过程，将Poisson–Dirichlet分布扩展至全范围参数 θ = θ₁ + θ₂ − α ≥ −α，从而为Fleming–Viot过程和树值马氏过程开辟了新应用。

ABSTRACT

We establish scaling limit theorems for the up-down ordered Chinese restaurant processes (oCRPs) of Rogers and Winkel as processes in a space of interval partitions. As previously conjectured, the limits are self-similar diffusions previously constructed directly in the continuum. We extend the oCRP model and the results to a three-parameter family ${ m oCRP}^{(α)}(θ_1,θ_2)$, $α\in(0,1)$, $θ_1,θ_2\ge 0$. We use the scaling limit approach to extend existing stationarity results to the full three-parameter family, identifying an extended family of Poisson--Dirichlet interval partitions. Their ranked sequence of interval lengths has Poisson--Dirichlet distribution with parameters $α\in(0,1)$ and $θ:=θ_1+θ_2-α\ge-α$, including for the first time the usual range of $θ>-α$ rather than being restricted to $θ\ge 0$. This has applications to Fleming--Viot processes, nested interval partition evolutions and tree-valued Markov processes, notably relying on the extended parameter range.

研究动机与目标

• 将Rogers与Winkel的两参数PCRP推广为具有独立左向移民（左）与右向迁出（右）速率的三参数家族。
• 建立经适当缩放的PCRP过程弱收敛于自相似区间划分扩散（SSIP^{(α)}(θ₁,θ₂)）的极限。
• 将Poisson–Dirichlet区间划分的平稳性结果推广至全参数范围 θ ≥ −α，包括负θ值。
• 建立离散马氏链在整数组合上的演化与连续区间划分上扩散过程之间的缩放极限联系。
• 通过扩展的参数范围θ ≥ −α，实现嵌套区间划分演化与树值马氏过程的新应用。

提出的方法

• 在整数组合上定义一个连续时间马氏链，表示一排中各桌的占用情况，其转移速率基于顾客到达（上跃）与离开（下跃）行为。
• 建模上跃行为如下：(1) 每张大小为m的桌子以速率m−α加入；(2) 以速率θ₁在最左端开启新桌；(3) 以速率θ₂在最右端开启新桌；(4) 在相邻桌子之间插入新桌的速率为α。
• 建模下跃行为：每位顾客以速率1独立离开；若θ = θ₁ + θ₂ − α ≤ 0，则空状态∅为吸收态。
• 通过累积和将组合表示为区间划分[0,M]，其中各块对应于桌子的大小。
• 在配备Hausdorff度量的区间划分空间（I_H）上，使用J₁-Skorokhod拓扑来处理右连左极函数空间。
• 通过缩放极限技术与去泊松化方法，证明经适当缩放的PCRP过程弱收敛于自相似扩散极限SSIP^{(α)}(θ₁,θ₂)。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构建一个三参数PCRP模型，实现左右独立的移民与迁出机制，从而推广现有的两参数模型？
• RQ2 经适当缩放的PCRP过程的弱极限是什么？其极限扩散过程具有何种性质？
• RQ3 如何将Poisson–Dirichlet区间划分的平稳性结果推广至包含θ ≥ −α的全参数范围，包括负θ值？
• RQ4 PCRP与嵌套区间划分演化之间存在何种关系，特别是在树值过程背景下？
• RQ5 能否利用扩展的参数范围θ ≥ −α，来构造新的扩散族与随机过程？

主要发现

• 本文构建了三参数PCRP过程家族PCRP^{(α)}(θ₁,θ₂)，其中α ∈ (0,1)且θ₁,θ₂ ≥ 0，包含双向移民与迁出机制。
• 经缩放的PCRP过程的弱极限为自相似区间划分扩散SSIP^{(α)}(θ₁,θ₂)，其推广了现有的SSIP家族。
• 极限区间划分的有序长度分布为Poisson–Dirichlet(α, θ)，其中θ = θ₁ + θ₂ − α ≥ −α，将已知范围从θ ≥ 0扩展至θ ≥ −α。
• SSIP^{(α)}(θ₁,θ₂)过程的去泊松化版本保持了嵌套性，从而可应用于嵌套区间划分演化。
• 该模型使得树值马氏过程的新构造成为可能，包括在α-γ树上定义的连续时间上下马氏链，其内部嵌入PCRP动力学。
• 当α ∈ (0,1)，γ ∈ [0,α]，且n → ∞时，脊柱与子树大小过程的缩放版本依分布收敛至cfSSIP^{(α,0,α−γ)}(1−α)演化过程，初始分布为PDIP^{(γ)}(1−α,γ)，脆性测度为Frag^{(α)}(0,α−γ)。