[论文解读] Upgrading the Bloch Sphere: Projective Space Foliated by Klein Bottles as a Geometrical Representation of Two-Qubit States and Their Entanglement

Oscar Perdómo, Vicente Leyton‐Ortega+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 5, 2019

Fractal and DNA sequence analysis被引用 3

一句话总结

本论文提出了一种基于实射影空间的两量子比特纯态（实振幅）的新几何表示，其中最大纠缠态构成两条正交圆周，而无纠缠态则表现为距离 $\pi/4$ 处的克莱因瓶。从最大纠缠态出发的距离决定了纠缠熵，且所有此类态均可通过局域门与一个受控-Z门相互连接，揭示了由纠缠距离参数化的克莱因瓶对射影空间的叶状结构。

ABSTRACT

We study the set of two-qubit pure states with real amplitudes and their geometrical representation onto a real projective space. In this representation, we show that the maximally entangled states --those locally equivalent to the Bell States --form two disjoint circles perpendicular to each other. We also show that, taking the natural Riemannian metric on this space, the set of states connected by local gates are equidistant to this pair of circles. Moreover, the unentangled, or so called product states, are $\pi/4$ units away to the maximally entangled states. This is, the unentangled states are the farthest away to the maximally entangled states. In this way, if we define two states to be equivalent if they are connected by local gates, we have that there are as many equivalent classes as points in the interval $[0,\pi/4]$ with the point $0$ corresponding to the maximally entangled states. The point $\pi/4$ corresponds to the unentangled states which geometrically are described by a Klein bottle. Finally, for every $0< d < \pi/4$ the point $d$ corresponds to a disjoint pair of Klein bottles. We also show that if a state is $d$ units away from the maximally entangled states, then its entanglement entropy is $S(d) = 1- \log_2 \sqrt{\frac{(1+\sin 2 d)^{1+\sin 2 d}}{(1-\sin 2 d)^{-1+\sin 2 d}}}$. Finally, we also show how this geometrical interpretation allows to clearly see the known result that any pair of two-qubit states with real amplitudes can be connected with a circuit that only has single-qubit gates and one controlled-Z gate.

研究动机与目标

• 在实射影空间中发展两量子比特纯态（实振幅）的几何表示。
• 表征此类几何中最大纠缠态的分布及其与无纠缠（可分）态的关系。
• 在局域酉等价下建立基于区间 $[0, \pi/4]$ 的距离分类方法。
• 推导出纠缠熵作为与最大纠缠距离函数的闭式表达式。
• 证明任意两个此类态均可仅通过单量子比特门与一个受控-Z门连接，利用几何结构。

提出的方法

• 将具有实振幅的两量子比特纯态集合表示为实射影空间 $\mathbb{RP}^3$ 中的点。
• 在 $\mathbb{RP}^3$ 上定义黎曼度量，以测量局域酉变换下的态之间距离。
• 将最大纠缠态（局域等价于贝尔态）识别为该空间中两条不相交且正交的圆周。
• 证明距离最大纠缠圆周为 $d$ 的态构成一对不相交的克莱因瓶（$0 < d < \pi/4$），且 $d = \pi/4$ 对应无纠缠态。
• 推导出纠缠熵 $S(d) = 1 - \log_2 \sqrt{\frac{(1+\sin 2d)^{1+\sin 2d}}{(1-\sin 2d)^{-1+\sin 2d}}}$ 作为几何距离 $d$ 的函数。
• 利用几何结构证明任意两个具有实振幅的两量子比特态均可通过仅含单量子比特门与一个受控-Z门的电路连接。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何以几何方式表示两量子比特纯态（实振幅），以捕捉其纠缠结构？
• RQ2 在该表示中，最大纠缠态与无纠缠态的几何位置是什么？
• RQ3 从最大纠缠态出发的距离如何与态的纠缠熵相关联？
• RQ4 所有此类态的集合能否被如克莱因瓶等拓扑对象叶状化，其几何意义为何？
• RQ5 连接任意两个此类态所需的最小量子电路结构是什么，几何结构如何提供指导？

主要发现

• 最大纠缠态的集合在两量子比特纯态（实振幅）的实射影空间表示中形成两条不相交且正交的圆周。
• 无纠缠（可分）态在黎曼度量下与最大纠缠态的距离恰好为 $\pi/4$，且在几何上构成一个克莱因瓶。
• 对每个 $d \in (0, \pi/4)$，与最大纠缠态距离为 $d$ 的态集合构成一对不相交的克莱因瓶。
• 与最大纠缠距离为 $d$ 的态的纠缠熵由 $S(d) = 1 - \log_2 \sqrt{\frac{(1+\sin 2d)^{1+\sin 2d}}{(1-\sin 2d)^{-1+\sin 2d}}}$ 给出。
• 所有具有实振幅的两量子比特态均可通过仅含单量子比特门与一个受控-Z门的电路连接，几何叶状结构已证实此结论。
• 态的空间被以距离 $d \in [0, \pi/4]$ 参数化的克莱因瓶叶状化，其中 $d=0$ 对应最大纠缠态，$d=\pi/4$ 对应无纠缠态。