[论文解读] Upper and lower bound theorems for graph-associahedra

Victor Matveevich Buchstaber, Vadim Volodin|arXiv (Cornell University)|May 10, 2010

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 18被引用 5

一句话总结

本文通过在圆柱体上对 facet 进行顺序削切的递归构造方法，建立了图 associahedra 及其关键子类（associahedra、cyclohedra、permutohedra、stellohedra）的 γ-、g-、h- 和 f-向量的不可改进的上下界。关键贡献在于证明了所有图 associahedra 的 γ-向量介于 associahedron 与 permutohedron 的 γ-向量之间，对于树和哈密顿图则有更紧的界，并推导出统一微分方程与 shelling 方法的归纳公式。

ABSTRACT

From the paper of the first author it follows that upper and lower bounds for $γ$-vector of a simple polytope imply the bounds for its $g$-,$h$- and $f$-vectors. In the paper of the second author it was obtained unimprovable upper and lower bounds for $γ$-vectors of flag nestohedra, particularly Gal's conjecture was proved for this case. In the present paper we obtain unimprovable upper and lower bounds for $γ$-vectors (consequently, for $g$-,$h$- and $f$-vectors) of graph-associahedra and some its important subclasses. We use the constructions that for an $(n-1)$-dimensional graph-associahedron $P_{Γ_n}$ give the $n$-dimensional graph-associahedron $P_{Γ_{n+1}}$ that is obtained from the cylinder $P_{Γ_n} imes I$ by sequential shaving some facets of its bases. We show that the well-known series of polytopes (associahedra, cyclohedra, permutohedra and stellohedra) can be derived by these constructions. As a corollary we obtain inductive formulas for $γ$- and $h$- vectors of the mentioned series. These formulas communicate the method of differential equations developed by the first author with the method of shavings developed by the second author.

研究动机与目标

• 为图 associahedra 及其重要子类建立 γ-、g-、h- 和 f-向量的不可改进的上下界。
• 通过递归构造推导出紧致边界，证明 flag nestohedra 的 Gal 猜想关于非负 γ-向量。
• 通过证明其在生成 γ- 和 h-向量的归纳公式方面等价，统一 Buchstaber 的微分方程方法与 Volodin 的 facet 削切方法。
• 利用新构造方法，为 associahedra、cyclohedra、permutohedra 和 stellohedra 推导出 γ- 和 h-向量的显式归纳公式。

提出的方法

• 通过构造圆柱体 $P_{\tilde{̻}_n} \times I$，并从其底面顺序削切 facet，从 (n−1) 维图 associahedra 构造出 n 维图 associahedra。
• 应用削切构造，推导出图 associahedra 的 γ- 和 h-向量的归纳公式，特别针对路径图、环图、完全图和星图。
• 利用在连通构建集中有 $h_i(P_{B_1}) \leq h_i(P_{B_2})$（当 $B_1 \subseteq B_2$ 时）的事实，建立 h-向量的分量不等式。
• 推导出 $H$- 和 $\gamma$-向量生成函数的微分方程：$\frac{dH_{St}}{dx} = H_{St}(\alpha + t + \alpha t H_{Pe})$ 和 $\frac{d\gamma_{St}}{dx} = \gamma_{St}(1 + \tau x \gamma_{Pe})$。
• 应用构建集与嵌套集理论，表明图 associahedra 来源于图的连通子图，且其面向量受极值情况的限制。
• 以立方体 ($I^n$) 和 permutohedron ($Pe^n$) 的已知 $\gamma$-向量边界作为 flag nestohedra 的极值参考。

实验结果

研究问题

• RQ1 任何图 associahedra 的 γ-向量的最紧可能上下界是什么？
• RQ2 图 associahedra 的 γ-、g-、h- 和 f-向量与 associahedra、cyclohedra、permutohedra 和 stellohedra 等基本多面体的对应向量如何比较？
• RQ3 Buchstaber 的微分方程方法与 Volodin 的 facet 削切方法能否在一个统一框架中用于构造和分析图 associahedra？
• RQ4 Gal 关于 flag nestohedra 的非负 γ-向量猜想是否成立？能否通过极值边界证明？
• RQ5 哪些归纳公式控制主要系列图 associahedra（associahedra、cyclohedra、permutohedra、stellohedra）的 γ- 和 h-向量？

主要发现

• 任何在 $[n+1]$ 上的图 associahedra $P_{\Gamma_{n+1}}$ 的 γ-向量满足 $\gamma_i(As^n) \leq \gamma_i(P_{\Gamma_{n+1}}) \leq \gamma_i(Pe^n)$，且等号情况不可改进。
• 对于哈密顿图 $\Gamma_{n+1}$，边界为 $\gamma_i(Cy^n) \leq \gamma_i(P_{\Gamma_{n+1}}) \leq \gamma_i(Pe^n)$；对于树，边界为 $\gamma_i(As^n) \leq \gamma_i(P_{\Gamma_{n+1}}) \leq \gamma_i(St^n)$，证实了 [PRW] 中的猜想。
• stellohedra 的归纳公式为 $\gamma(St^n) = \gamma(St^{n-1}) + \tau \sum_{i=1}^{n-1} \binom{n-1}{i-1} \gamma(St^{i-1}) \gamma(Pe^{n-i-1})$，由削切构造推导得出。
• stellohedra 的 $H$-多项式满足 $\frac{dH_{St}}{dx} = H_{St}(\alpha + t + \alpha t H_{Pe})$，将微分方程方法与 shelling 过程联系起来。
• n 维 permutohedron 的 $\gamma$-向量为 $\gamma_i(Pe^n) = A(n+1,i)$，其中 $A(n+1,i)$ 表示 $n+1$ 个元素中具有 $i$ 个下降的排列数。
• 明确计算了 $f$-、$g$-、$h$- 和 $\gamma$-向量的边界：$h_i(I^n) = \binom{n}{i}$，$h_i(As^n) = \frac{1}{n+1} \binom{n+1}{i} \binom{n+1}{i+1}$，$h_i(Cy^n) = \binom{n}{i}^2$，以及 $\gamma_i(As^n) = \frac{1}{i+1} \binom{2i}{i} \binom{n}{2i}$。