[论文解读] Upper and lower fast Khintchine spectra in continued fractions

Lingmin Liao, Michał Rams|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 14被引用 7

一句话总结

本文引入并计算了连分数中的上下文快速Khintchine谱，定义为当归一化对数部分商之和的上极限和下极限等于1时，集合的Hausdorff维数。研究发现，这些谱依赖于函数ψ(n)的增长率，上谱由liminf(log ψ(n)/n)决定，下谱由limsup(log ψ(n)/n)决定，从而得出精确的维数公式。

ABSTRACT

For an irrational number $x\in [0,1)$, let $x=[a\_1(x), a\_2(x),\cdots]$ be its continued fraction expansion. Let $ψ: \mathbb{N} ightarrow \mathbb{N}$ be a function with $ψ(n)/n o \infty$ as $n o\infty$. The (upper, lower) fast Khintchine spectrum for $ψ$ is defined as the Hausdorff dimension of the set of numbers $x\in (0,1)$ for which the (upper, lower) limit of $\frac{1}{ψ(n)}\sum\_{j=1}^n\log a\_j(x)$ is equal to $1$. The fast Khintchine spectrum was determined by Fan, Liao, Wang, and Wu. We calculate the upper and lower fast Khintchine spectra. These three spectra can be different.

研究动机与目标

• 定义并计算归一化对数部分商之和的上极限或下极限等于1的集合的Hausdorff维数。
• 将快速Khintchine谱从标准极限情形扩展至包含上极限和下极限行为的情形。
• 分析ψ(n)的增长率如何影响连分数展开的多重分形结构。
• 建立上谱和下谱可彼此不同，且与标准快速Khintchine谱不同的结论。
• 为连分数中非标准平均化制度下的多重分形谱提供完整表征。

提出的方法

• 将上下文快速Khintchine谱定义为满足(1/ψ(n))∑₁ⁿ log aⱼ(x)的上极限和下极限等于1的集合的Hausdorff维数。
• 引入参数b = liminf(log ψ(n)/n)和B = limsup(log ψ(n)/n)，它们控制谱的性质。
• 构造[0,1]的一个Cantor型子集，其中部分商被限制在Aᵢ¹/ᶻ附近的区间内，且Aᵢ以超指数方式增长。
• 在构造的集合上定义概率测度μ，并通过嵌套区间Dₙ的比值log μ(Dₙ)/log |Dₙ|估计局部维数。
• 利用Frostman引理由控制μ和|Dₙ|的衰减速率，建立Hausdorff维数的下界。
• 通过分析ψ(n)的增长性并将其与参数β(ψ)关联，证明上界，表明b ≤ B ≤ β(ψ)。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于满足(1/ψ(n))∑₁ⁿ log aⱼ(x)的上极限等于1的x ∈ (0,1)的集合，其Hausdorff维数是多少？
• RQ2 对于满足(1/ψ(n))∑₁ⁿ log aⱼ(x)的下极限等于1的x ∈ (0,1)的集合，其Hausdorff维数是多少？
• RQ3 上下文快速Khintchine谱与通过极限定义的标准快速Khintchine谱有何不同？
• RQ4 ψ(n)的增长率，特别是liminf(log ψ(n)/n)和limsup(log ψ(n)/n)，如何决定谱的结构？
• RQ5 b、B和β(ψ)这三个值是否可能互不相同？若可以，这对多重分形结构意味着什么？

主要发现

• 上文快速Khintchine谱由dimₕ Ē(ψ) = 1/(1 + b)给出，其中b = liminf(log ψ(n)/n)。
• 下文快速Khintchine谱由dimₕ Ē̲(ψ) = 1/(1 + B)给出，其中B = limsup(log ψ(n)/n)。
• 上谱和下谱可能不同，且两者均可与标准快速Khintchine谱不同，后者依赖于β(ψ) = limsup(ψ(n+1)/ψ(n))。
• 在ψ(n)/n → ∞的条件下，集合Ē(ψ)和Ē̲(ψ)始终非空。
• 参数b和B满足b ≤ B ≤ β(ψ)，且对某些ψ可实现严格不等式b < B < β(ψ)。
• 结果为Gauss动力系统中Birkhoff平均在非标准归一化函数ψ下的多重分形结构提供了完整描述。