[论文解读] Upper bound for the Gromov width of coadjoint orbits of compact Lie groups

Alexander Caviedes Castro|arXiv (Cornell University)|Apr 17, 2014

Advanced Algebra and Geometry被引用 5

一句话总结

该论文通过计算非零的 Gromov–Witten 不变量（利用 J-全纯曲线技术），在紧李群的余伴随轨道上，借助 Kostant–Kirillov–Souriau 辛形式，建立了 Gromov 宽度的上界，从而推广了 Gromov 的非压缩原理。关键结果为：Gromov 宽度的上界由所有非零余根 ̌α 上的配对 ⟨λ, ̌α⟩ 的绝对值的最小值决定。

ABSTRACT

We find an upper bound for the Gromov width of coadjoint orbits of compact Lie groups with respect to the Kirillov Kostant Souriau form by computing certain Gromov Witten invariants, the approach presented here is closely related to the one used by Gromov in his celebrated nonsqueezing theorem.

研究动机与目标

• 建立紧李群余伴随轨道的 Gromov 宽度上界。
• 将先前关于正则与不可约余伴随轨道的结果推广至一般余伴随轨道。
• 将 Gromov–Witten 不变量与 J-全纯曲线理论应用于齐次空间的辛几何。
• 将 U(n) 与 SO(n) 的已知结果推广至任意余伴随轨道。

提出的方法

• 利用 Gromov–Witten 不变量从上界约束 Gromov 宽度，基于非零不变量意味着辛容量存在上界的原理。
• 采用 Cieliebak–Mohnke 定义的 Gromov–Witten 不变量，适用于整数辛流形。
• 运用 Buch、Mihalcea 与 Perrin 提出的曲线邻域方法，计算旗流形中的相关不变量。
• 依赖复旗流形 Gℂ/P 中的 Schubert 簇与 Bruhat 分解的结构。
• 利用旗流形之间的投影映射 Gℂ/R → Gℂ/P 与 Gℂ/R → Gℂ/Q，关联上同调与同调类。
• 应用 Weyl 群中的交换与删除原理，分析 Weyl 群元素的结构及其对 Schubert 单元的作用。

实验结果

研究问题

• RQ1 任意紧李群余伴随轨道的 Gromov 宽度的精确上界是什么？
• RQ2 Gromov–Witten 不变量如何用于约束齐次空间中辛容量的上界？
• RQ3 通过 J-全纯曲线导出的上界是否与 U(n) 和 Grassmannian 的已知结果一致？
• RQ4 该方法能否推广至不可约情形之外的非正则余伴随轨道？
• RQ5 曲线邻域与 Weyl 群组合学在计算非零 Gromov–Witten 不变量中起什么作用？

主要发现

• 余伴随轨道 𝒪λ 的 Gromov 宽度上界由所有满足配对非零的余根 ̌α 上的 |⟨λ, ̌α⟩| 的最小值决定。
• 对于 U(n) 的余伴随轨道，该上界是精确的，此时 Gromov 宽度等于 i ≠ j 时 |λi − λj| 的最小值。
• 在 Grassmannian 情形，该方法通过曲线邻域技术与旗流形纤维化，完整证明了上界。
• 该证明技术将 Zoghi 对不可约旗流形的结果推广至任意余伴随轨道。
• 特定 Gromov–Witten 不变量 GW_{A,k}(PD[pt], α2, ..., αk) 的非零性，意味着 Gromov 宽度存在上界 ω(A)。
• 该结果与 Pabiniak 的下界一致，确认了在 U(n) 与某些 SO(n) 轨道情形下存在等式关系。