[论文解读] Upper Bounds for Maximally Greedy Binary Search Trees

Kyle Fox|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2011

Algorithms and Data Compression参考文献 10被引用 6

一句话总结

该论文首次为GreedyFuture算法建立了非平凡的上界，该算法是一种强离线二叉搜索树（BST）算法，通过贪婪地重新组织搜索路径以最小化未来的访问成本。利用BST的几何模型，作者证明了一个类似于Sleator和Tarjan为伸展树所建立的访问引理，以及一个顺序访问定理，表明按顺序访问节点时可实现线性时间性能，为GreedyFuture可能是动态最优的提供了强有力的理论证据。

ABSTRACT

At SODA 2009, Demaine et al. presented a novel connection between binary search trees (BSTs) and subsets of points on the plane. This connection was independently discovered by Derryberry et al. As part of their results, Demaine et al. considered GreedyFuture, an offline BST algorithm that greedily rearranges the search path to minimize the cost of future searches. They showed that GreedyFuture is actually an online algorithm in their geometric view, and that there is a way to turn GreedyFuture into an online BST algorithm with only a constant factor increase in total search cost. Demaine et al. conjectured this algorithm was dynamically optimal, but no upper bounds were given in their paper. We prove the first non-trivial upper bounds for the cost of search operations using GreedyFuture including giving an access lemma similar to that found in Sleator and Tarjan's classic paper on splay trees.

研究动机与目标

• 通过分析具有强未来知识的离线BST算法GreedyFuture，为动态最优性猜想提供理论依据。
• 为GreedyFuture建立摊销性能上界，特别是访问成本和结构特性方面的上界。
• 证明GreedyFuture在按序访问所有节点时可实现线性成本，这是最优BST的关键性质。
• 扩展Demaine等人提出的几何模型，推导出用于分析贪婪BST行为的结构引理。
• 提供基础性结果，或可为未来对伸展树及其他自调整BST的分析提供参考。

提出的方法

• 采用BST的几何视角，其中每次搜索表示为点(x,y)，x为秩，y为搜索索引，且满足树形条件的点集代表有效的BST访问序列。
• 定义并证明GreedyFuture的新访问引理，通过秩函数和点集的几何特性来界定摊销成本。
• 利用几何模型分析单次搜索的成本，通过追踪被访问节点的秩及其前驱/后继节点。
• 通过分析搜索过程中树结构的变化来证明顺序访问定理，重点关注节点相对于根节点及其右子树的位置。
• 利用结构不变量：每次搜索i之后，节点i要么是根节点，要么节点i−1是根节点且i是其右子树中最左的节点。
• 应用组合论证和基于秩的势函数，以界定m次搜索序列的总访问成本。

实验结果

研究问题

• RQ1 GreedyFuture能否实现每次搜索O(log n)的摊销时间，类似于伸展树？
• RQ2 当以任意初始树结构按中序顺序访问所有节点时，GreedyFuture是否表现出线性成本？
• RQ3 能否为GreedyFuture推导出一个类似于伸展树所用的正式访问引理？
• RQ4 GreedyFuture是否为O(1)-竞争，或至少在最优离线成本上相差一个O(m)的加法项？
• RQ5 能否利用几何模型推导出贪婪BST操作摊销成本的更紧上界？

主要发现

• 该论文证明了GreedyFuture的访问引理，其意味着每次搜索的摊销时间复杂度为O(log n)，与Sleator和Tarjan对伸展树分析中的界一致。
• 无论初始树结构如何，GreedyFuture在按序访问n个节点时总成本为O(n)，从而证明了顺序访问定理。
• 当按顺序访问节点1到n时，m次搜索的总成本被限制在4n − 2以内，确认了线性性能。
• 每次搜索的摊销成本被限制在5 + 6⌊lg W⌋ − 6r(si, i−1)以内，其中W为访问序列的宽度，r(si, i−1)为被访问节点的秩。
• 分析表明，每个节点最多仅在根节点或根节点右子树的最左节点之外被访问一次，这是限制总访问成本的关键。
• 这些结果为GreedyFuture可能是动态最优的提供了首个非平凡的理论证据，支持其被推测为O(1)-竞争的结论。