[论文解读] Upper Bounds on Covering Minima of Convex Bodies

Katarina Krivokuća|arXiv (Cornell University)|Jan 21, 2026

Point processes and geometric inequalities被引用 0

一句话总结

论文提出两种基于投影与交集的上界，用于凸集合覆盖极小值的覆盖极小值；对直接和的尖锐性进行了证明，并将这些界应用于标准终端单纯形，以收窄对非空心 latticepolytopes 的最大覆盖半径的猜想界限。

ABSTRACT

We give two new upper bounds on the covering minima of convex bodies, depending on covering minima of certain projections and intersections with linear subspaces. We show one bound to be sharp for direct sums of two convex bodies, generalizing previous results on the covering radius and lattice width of direct sums. We apply our results to standard terminal simplices, reducing the gap between the upper and lower bounds in a conjecture of Gonzaléz Merino and Schymura (2017), which gives insight on a conjecture of Codenotti, Santos and Schymura (2021) on the maximal covering radius of a non-hollow lattice polytope.

研究动机与目标

• 仅依赖于投影与与线性子空间的交集来推动更紧的覆盖极小值一般上界的研究動机。
• 发展对凸集合直接和是尖锐的边界，将覆盖极小值与分量的晶格宽度及覆盖半径联系起来。
• 将界应用于标准终端单纯形，以改进现有关于非空心晶格多面体的覆盖半径猜想中的差距。

提出的方法

• 推导一个基于投影的界：mu_i(K, Lambda) <= max_j (mu_j(pi_V(K), pi_V(Lambda)) + mu_{i-j}(K ∩ V^⊥, Lambda ∩ V^⊥)).
• 通过将 mu_i(K ⊕ L, Lambda ⊕ Gamma) 表示为 mu_j(K, Lambda) 与 mu_{i-j}(L, Gamma) 的和的最大值，证明投影界对于直接和是尖锐的。
• 给出一个基于交集的界：mu_i(K, Lambda) <= max_{I} mu(K ∩ L_I, Lambda ∩ L_I)，在合适的维度条件下。
• 在局部反阻挡（locally anti-blocking）物体上，界变得尖锐：mu_i(K) = max_I mu(K ∩ L_I)。
• 将覆盖极小值与投影的覆盖半径联系，以便计算便利性和算法相关性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何仅使用投影和子空间交集的覆盖极小值来上界 mu_i(K, Lambda)？
• RQ2 在何种条件下这些界是尖锐的，尤其对于直接和的情形？
• RQ3 新界是否能为标准终端单纯形及相关终端多面体给出精确或紧的值？
• RQ4 这些界对非空心晶格多面体的最大覆盖半径猜想有哪些影响？
• RQ5 界是否可推广到有权终端单纯形和其他结构化族？

主要发现

• 建立了一个基于投影的 mu_i(K, Lambda) 上界，区分了 pi_V(K) 与 K ∩ V^⊥ 的贡献。
• 证明投影界对直接和是尖锐的，给出 mu_i(K ⊕ L, Lambda ⊕ Gamma) 的精确公式，以 mu_j(K, Lambda) 与 mu_{i-j}(L, Gamma) 表示。
• 推导出一个基于交集的界：mu_i(K, Lambda) ≤ max over index sets I 的 mu(K ∩ L_I, Lambda ∩ L_I)。
• 对于局部反阻挡物体，该界变得严格：mu_i(K) = max_I mu(K ∩ L_I)。
• 这些结果与并细化关于终端单纯形、晶格多面体及终端多面体与终端单纯形之间关系的猜想相联系。
• 该工作提供用于通过交集的覆盖半径来计算 mu_i 的实用界，通常更易计算。