[论文解读] Upper bounds on the permanent of multidimensional (0,1)-matrices

Anna A. Taranenko|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2014

graph theory and CDMA systems参考文献 4被引用 4

一句话总结

本文通过将Minc猜想推广至高维，建立了多维(0,1)-矩阵的永久量上界。引入基于超平面和的界，并利用阶乘近似与归纳法推导渐近估计，表明在超平面权重随n增长足够快的条件下，永久量的增长至多为$ n!^{d-2} e^{o(n)} \prod_{i=1}^n \lceil r_i/n^{d-2} \rceil!^{1/\lceil r_i/n^{d-2} \rceil} $。

ABSTRACT

The permanent of a multidimensional matrix is the sum of products of entries over all diagonals. By Minc's conjecture, there exists a reachable upper bound on the permanent of 2-dimensional (0,1)-matrices. In this paper we obtain some generalizations of Minc's conjecture to the multidimensional case. For this purpose we prove and compare several bounds on the permanent of multidimensional (0,1)-matrices. Most estimates can be used for matrices with nonnegative bounded entries.

研究动机与目标

• 将Minc关于二维(0,1)-矩阵永久量的猜想推广至更高维度的多维矩阵。
• 基于超平面中1的个数，建立d维(0,1)-矩阵永久量的上界。
• 在超平面权重满足增长条件时，推导最大永久量的渐近估计。
• 通过递归构造与阶乘界，将结果推广至元素有界于1的非负矩阵。
• 证明在超平面和的温和增长假设下，所提出的上界在渐近意义下成立。

提出的方法

• 对维度$ d $使用归纳法，以已知的二维情况（Minc定理）作为归纳基础。
• 定义从d维矩阵$ A $到(d-1)维矩阵$ B $的映射，其中每个元素$ b_\beta = s_\beta!^{1/s_\beta} $，$ s_\beta $为1维平面$ l_\beta $中1的个数。
• 应用不等式$ x!^{1/x} \leq e^{1/x} x^{1+1/(2x)} e^{-1} $近似阶乘项，并利用凹性进行求和界估计。
• 重新排列矩阵$ B $的元素，构造新矩阵$ C $，其元素为0或$ f(n) $，通过重排保持或增加永久量。
• 利用$ \sum_{\beta} g(s_\beta) \leq n^{d-2} g(r_i(n)/n^{d-2}) $对矩阵$ B $中每个超平面的元素和进行有界，利用上界函数的凹性。
• 对缩放后的矩阵$ C $应用归纳假设，推导出最终的渐近界，形式为$ n!^{d-2} e^{o(n)} \prod_{i=1}^n F(r_i(n)/n^{d-2}) $。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将Minc关于二维(0,1)-矩阵永久量的猜想推广至高维多维矩阵？
• RQ2 基于矩阵超平面中1的个数，可为d维(0,1)-矩阵的永久量导出哪些上界？
• RQ3 在超平面权重满足增长条件时，这些上界在矩阵规模$ n \to \infty $时的渐近行为如何？
• RQ4 这些上界能否推广至元素不超过1的非负矩阵？
• RQ5 当最小超平面权重增长快于$ n^{d-2} $时，最大永久量的渐近增长速率如何？

主要发现

• d维(0,1)-矩阵的永久量上界为$ \prod_{i=1}^n \lceil r_i/n^{d-2} \rceil!^{1/\lceil r_i/n^{d-2} \rceil} $，其中$ r_i $为第i个超平面中1的个数。
• 在$ \min_i r_i(n)/n^{d-2} \to \infty $的条件下，渐近成立$ \max_{A \in \Lambda^d(n,r)} \text{per}(A) \leq n!^{d-2} e^{o(n)} \prod_{i=1}^n F\left(\frac{r_i(n)}{n^{d-2}}\right) $。
• 猜想1（即3D矩阵在超平面和为8时，永久量$ \leq 4! \cdot 2^{4/2} = 96 $）在渐近意义下成立，尽管在永久量为74的实例中不严格成立。
• 定理3给出较宽松的界$ \text{per}(A) \leq 4!^2 = 576 $，对示例矩阵有效但不够紧致。
• 推论1将二维界推广至元素≤1的非负矩阵，表明$ \text{per}(A) \leq \prod_{i=1}^n \lceil r_i \rceil!^{1/\lceil r_i \rceil} $，其中$ r_i $为行和。
• 渐近界在$ e^{o(n)} $因子范围内是紧致的，增长速率主要由按超平面权重缩放的阶乘项乘积主导。