[论文解读] Upper, down, two-sided Lorenz attractor, collisions, merging and switching

Diego Barros, Christian Bonatti+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 19, 2021

Nonlinear Dynamics and Pattern Formation参考文献 14被引用 4

一句话总结

本文提出一个在 $\mathbb{R}^3$ 中的 $C^1$-开向量场族，其中奇异双曲吸引子（Lorenz型）与双曲马蹄可发生碰撞、合并为双侧Lorenz吸引子，或通过余维1分支曲面切换角色。关键贡献是基于轨道行程动力学的完整拓扑分类，表明返回映射在截面上的共轭性完全决定了吸引子的拓扑等价性。

ABSTRACT

We present a slightly modified version of the well known "geometric Lorenz attractor". It consists in a C1 open set O of vector fields in R3 having an attracting region U containing: (1) a unique singular saddle point sigma; (2) a unique attractor Lambda containing the singular point; (3) the maximal invariant in U contains at most 2 chain recurrence classes, which are Lambda and (at most) one hyperbolic horseshoe. The horseshoe and the singular attractor have a collision along the union of 2 co-dimension 1 sub-manifolds which divide O in 3 regions. By crossing this collision locus, the attractor and the horseshoe may merge in a two-sided Lorenz attractor, or they may exchange their nature: the Lorenz attractor expel the singular point sigma and becomes a horseshoe and the horseshoe absorbs sigma becoming a Lorenz attractor. By crossing this collision locus, the attractor and the horseshoe may merge in a two-sided Lorenz attractor, or they may exchange their nature: the Lorenz attractor expel the singular point sigma and becomes a horseshoe and the horseshoe absorbs sigma becoming a Lorenz attractor.

研究动机与目标

• 研究在三维空间中，奇异双曲吸引子是否能鲁棒地同时与Lorenz型鞍点的上、下稳定分离子流线相交。
• 理解当此类吸引子与双曲马蹄共存于同一吸引区域时的拓扑与动力学行为。
• 在穿越余维1分支曲面的扰动下，对吸引子与马蹄合并为双侧吸引子或角色互换的可能动力学结果进行分类。
• 基于稳定分离子流线的行程结构，建立最大不变集之间的拓扑共轭关系。
• 针对与奇点稳定流形相交的鲁棒遍历奇异双曲吸引子，提供其在三维流中的完整拓扑分类。

提出的方法

• 作者在紧致三维流形上构造了一个 $C^1$-开集 $\mathcal{O}_1$ 的向量场，其包含一个共同的吸引区域 $\mathcal{U}$，其中存在唯一的Lorenz型鞍点奇点 $\sigma$。
• 采用一个微分同胚于拓扑环面的全局截面 $\Sigma$，将三维流简化为 $\Sigma$ 上的1维返回映射，其在稳定分离子流线 $\gamma^s_\pm$ 处存在不连续性。
• 通过轨道相对于两个稳定分离子流线 $\gamma^s_+$ 和 $\gamma^s_-$ 的行程来分析动力学，这些流线将截面划分为若干区域。
• 通过匹配稳定分离子流线的行程，建立返回映射之间的拓扑共轭，利用在穿孔圆周上的保向双射确保共轭的保向性。
• 通过将点唯一地分配给行程，利用行程分配的单调性，构造出1维返回映射之间的共轭 $h$。
• 通过将共轭 $h$ 提升至流轨线，构建出全流之间的全局拓扑等价关系 $\mathbb{H}$，确保在不连续集附近保持连续性并保留动力学行为。

Figure 1: (a) Local bifurcation at ${\mathcal{H}}{\mathcal{E}}_{1}\cap{\mathcal{H}}{\mathcal{E}}_{2}$ and (b) Global bifurcation

实验结果

研究问题

• RQ1 在三维空间中，奇异双曲吸引子是否能鲁棒地同时与Lorenz型鞍点的上、下稳定分离子流线相交？
• RQ2 当Lorenz吸引子与双曲马蹄在相同吸引区域内发生碰撞时，其拓扑结构如何变化？
• RQ3 当吸引子与马蹄合并为双侧Lorenz吸引子或角色互换时，动力学行为如何改变？
• RQ4 在相同开族中，一个向量场的最大不变集何时与另一向量场的最大不变集拓扑共轭？
• RQ5 稳定分离子流线的行程结构在多大程度上决定了吸引子的全局拓扑类型？

主要发现

• 在 $C^1$-开集 $\mathcal{O}_1$ 中，向量场的最大不变集中至多包含两个链递归类：一个奇异双曲吸引子 $\Lambda$ 和至多一个双曲马蹄。
• 当且仅当对应的返回映射的行程覆盖截面的两个区域时，吸引子才与 $W^s_+(\sigma)$ 和 $W^s_-(\sigma)$ 两个稳定分离子流线相交。
• 系统表现出一个由两个余维1子流形构成的碰撞轨迹，跨越该轨迹时，吸引子与马蹄可能合并为双侧Lorenz吸引子，或互换身份。
• 返回映射 $f_X$ 与 $f_Y$ 之间的拓扑共轭等价于稳定分离子流线 $\gamma^s_\pm$ 的行程一致，且此类共轭可提升为流的全局拓扑等价。
• 当且仅当 $X$ 与 $Y$ 在 $\gamma^s_+$ 和 $\gamma^s_-$ 上具有完全相同的行程时，$\mathcal{O}_1$ 中 $X$ 与 $Y$ 的最大不变集通过一个接近恒等映射的共轭实现拓扑等价。
• 该构造证明了吸引子的拓扑类型完全由稳定分离子流线的行程数据决定，从而基于符号动力学建立了完整的分类。

Figure 4: (a) The cross-sections $\Sigma\cup D^{1}\cup D^{2}$ , (b) The image $P(\Sigma^{1}\cup\Sigma^{2})$ .