[论文解读] Upper motives of algebraic groups and incompressibility of Severi-Brauer varieties

Nikita A. Karpenko|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用 4

一句话总结

本文确定了在半单代数群的内型下，射影齐性簇的 Chow 动机分解（系数为 $\mathbb{F}_p$），重点研究了中心单代数的广义 Severi-Brauer 簇。通过动机分解与动机秩的 $p$-进赋值，证明了与中心除法代数 $D$（阶为 $p^n$）相关的簇 $X(p^m; D)$ 对所有 $m = 0, \dots, n$ 均为 $p$-不可压缩，解决了代数几何与动机理论中的一个关键结构性问题。

ABSTRACT

Let G be a semisimple affine algebraic group of inner type over a field F. We write C for the class of all finite direct products of projective G-homogeneous F-varieties. We determine the structure of the Chow motives with coefficients in a finite field of the varieties in C. More precisely, it is known that the motive of any variety in C decomposes (in a unique way) into a sum of indecomposable motives, and we describe the indecomposable summands which appear in the decompositions. In the case where G is the group of automorphisms of a given central simple F-algebra A, for any variety in the class C (which includes the generalized Severi-Brauer varieties of the algebra A) we determine its canonical dimension at any prime p. In particular, we find out which varieties in C are p-incompressible. If A is a division algebra of degree p^n for some n, then the list of p-incompressible varieties includes the generalized Severi-Brauer variety X(p^m; A) of ideals of reduced dimension p^m for m=0,1,...,n.

研究动机与目标

• 描述半单代数群 $G$（在域 $F$ 上为内型）的射影 $G$-齐性簇的 Chow 动机分解中不可约分量的结构。
• 确定与中心单代数相关的广义 Severi-Brauer 簇的规范 $p$-维数（或 $p$-维数）。
• 确立与阶为 $p^n$ 的中心除法代数 $D$ 相关的簇 $X(p^m; D)$ 的 $p$-不可压缩性。
• 计算这些簇的动机分解中出现的不可约动机的秩的 $p$-进赋值。
• 为 $n \geq 4$ 提供一个广义 Severi-Brauer 簇的不可约动机的新例子。

提出的方法

• 在 Chow 动机范畴中，以 $\mathbb{F}_p$ 为系数，构造不可约动机 $M_\tau$，作为射影 $G$-齐性簇的动机分解中具有非零 $0$-余维 Chow 群的分量。
• 利用动机到不可约分量的唯一分解，描述此类簇的有限直积的动机结构。
• 对除法代数 $D$ 的阶进行归纳，同时证明两个结构性结果：上维 Chow 群的非零性与动机秩的 $p$-进赋值的计算。
• 通过将基域扩张至满足 $\operatorname{ind}(D_L) = p^{n-1}$ 的域扩张 $L/F$，比较 $L$ 上的动机分解，并分析特定动机的副本数量。
• 利用当 $r \geq 2$ 且 $m < n$ 时，$X(p^{m-1}, C)^{\times r}$ 中 $M_{m-1,C}$ 的副本数量可被 $p$ 整除的性质，结合动机秩的 $p$-进赋值。
• 应用 $X(p^m; D)$ 在域扩张 $L$ 上的动机分解，证明 $M_{0,C}$ 的任何平移都不是 $M_{1,C}$ 的分量，从而对 $n \geq 4$ 证明了不可约性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在半单代数群内型的射影 $G$-齐性簇的 Chow 动机分解中，哪些不可约动机会出现？
• RQ2 对于阶为 $p^n$ 的中心除法代数 $D$，广义 Severi-Brauer 簇 $X(p^m; D)$ 的规范 $p$-维数是多少？
• RQ3 当 $D$ 是阶为 $p^n$ 的中心除法代数时，对哪些 $m$，簇 $X(p^m; D)$ 是 $p$-不可压缩的？
• RQ4 与 $X(p^m; D)$ 相关的不可约动机 $M_{m,D}$ 的秩的 $p$-进赋值是多少？
• RQ5 当 $n \geq 4$ 时，$D$ 为阶为 $2^n$ 的中心除法代数，$X(2; D)$ 的动机是否不可约？

主要发现

• 当 $D$ 为阶为 $p^n$ 的中心除法代数时，对所有 $m = 0, 1, \dots, n$，簇 $X(p^m; D)$ 均为 $p$-不可压缩。
• 簇 $X(p^m; D)$ 的规范 $p$-维数为 $p^m(p^n - p^m)$，该值等于其维度。
• 不可约动机 $M_{m,D}$ 的 $d$-维 Chow 群（其中 $d = \dim X(p^m; D)$）非零，这等价于 $p$-不可压缩性。
• $M_{m,D}$ 动机的秩的 $p$-进赋值为 $n - m$。
• 当 $n \geq 4$ 时，系数为 $\mathbb{F}_2$ 的 $X(2; D)$ 的动机不可约，扩展了对 $n = 1, 2, 3$ 的已知结果。
• 在满足 $\operatorname{ind}(D_L) = p^{n-1}$ 的域扩张 $L$ 上，$X(p^m; D)$ 的动机分解表明，$X(p^m; D)_L$ 中 $M_{m-1,C}$ 的副本数量可被 $p$ 整除，支持了主要的不可压缩性结果。