[论文解读] Upper semi-continuity of random attractors and existence of invariant measures for nonlocal stochastic Swift-Hohenberg equation with multiplicative noise

Jintao Wang, Chunqiu Li+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 2020

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 60被引用 18

一句话总结

该论文建立了带乘性噪声的2D非局部随机Swift-Hohenberg方程的随机吸引子的上半连续性及遍历不变测度的存在性。通过改进的随机Gronwall引理与解析半群理论，作者证明当噪声强度 𝜖 → 0 时，H₀²(U) 中的随机吸引子上半连续收敛，且在 L²(U) 中对正核（Gp）与非负核（Gn）情形下均存在遍历不变测度。

ABSTRACT

In this paper, we mainly study the long-time dynamical behaviors of 2D nonlocal stochastic Swift-Hohenberg equations with multiplicative noise from two perspectives. Firstly, by adopting the analytic semigroup theory, we prove the upper semi-continuity of random attractors in the Sobolev space $H_0^2(U)$, as the coefficient of the multiplicative noise approaches zero. Then, we extend the classical "stochastic Gronwall's lemma", making it more convenient in applications. Based on this improvement, we are allowed to use the analytic semigroup theory to establish the existence of ergodic invariant measures.

研究动机与目标

• 分析带乘性噪声的2D非局部随机Swift-Hohenberg方程的长时间动力学行为。
• 在噪声系数 𝜖 → 0 时，建立H₀²(U)中随机吸引子的上半连续性。
• 利用Krylov-Bogoliubov方法证明该随机系统的遍历不变测度的存在性。
• 将经典随机Gronwall引理推广，以处理在乘性噪声与L²(Ω)强迫下对H₀²(U)-范数的估计。
• 证明在两种不同核假设下（正核Gp与特殊非负核Gn）上述结果均成立。

提出的方法

• 通过求解Ornstein-Uhlenbeck方程，将SPDE (1.2) 转化为随机PDE。
• 在 H₀²(U) ∩ H⁴(U) 上利用生成元 Δ² 的分数次幂的解析半群理论，以处理边界项的挑战。
• 提出一种新的随机Gronwall引理版本（引理4.2），放宽了对停时条件的限制，从而实现对H₀²(U)-范数的估计。
• 利用Krylov-Bogoliubov方法在L²(U)上构造不变测度，依赖于马氏转移半群的Feller性质。
• 应用[24, 命题11.12]与Krein-Milman定理，证明遍历不变测度为不变测度集的极点。
• 验证不变测度集 I 的紧致性与闭性，以确保其紧致性，这对Krein-Milman论证至关重要。

实验结果

研究问题

• RQ1 当噪声强度 𝜖 → 0 时，带乘性噪声的非局部随机Swift-Hohenberg方程的随机吸引子在H₀²(U)中是否上半连续收敛？
• RQ2 经典随机Gronwall引理能否被调整以估计在乘性噪声与L²(Ω)强迫下解的H₀²(U)-范数？
• RQ3 在正核与非负核假设下，该随机系统的遍历不变测度是否存在？
• RQ4 在随机动力系统中，随机吸引子与不变测度集之间存在何种关系？
• RQ5 当 𝜖 → 0 时，不变测度集 Iₖ 是否上半连续？其是否收敛至确定性系统的不变测度？

主要发现

• 当 𝜖 → 0 时，H₀²(U) 中的随机吸引子 Aₖ(ω) 上半连续收敛，意味着长时间动力学行为趋于确定性极限。
• 提出一种改进的随机Gronwall引理（引理4.2），其不等式条件仅需在足够短的时间区间内成立，从而实现对H₀²(U)-范数的有效控制。
• 在正核（Gp）与特殊非负核（Gn）假设下，当 0 < 𝜖 ≤ 1 时，过程 Φₖ 在 L²(U) 中存在遍历不变测度。
• 通过Krylov-Bogoliubov方法证明了遍历不变测度的存在性，依赖于Feller性质与不变测度集的紧致性。
• 不变测度集 I 非空、凸、闭且紧致，根据Krein-Milman定理，其存在极点，即遍历不变测度。
• 上述结果在两种核类型下均成立，关键估计式(4.7)与(4.33)相应调整，证实了方法的鲁棒性。