[论文解读] Upper Tail Estimates with Combinatorial Proofs

Jan Hązła, Thomas Holenstein|arXiv (Cornell University)|May 9, 2014

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 18被引用 3

一句话总结

本文提出了一种广义的组合框架，用于推导概率设定下的上尾界，扩展了Impagliazzo和Kabanets的组合证明技术。它引入了‘增长有界性’作为关键条件，以建立依赖变量的集中性，将其应用于获得最优的展开图随机游走集中界和Erdős–Rényi随机图中子图计数的上尾界，与Janson等人已知的结果一致。该方法在弱依赖假设下可得到紧致的指数尾界。

ABSTRACT

We study generalisations of a simple, combinatorial proof of a Chernoff bound similar to the one by Impagliazzo and Kabanets (RANDOM, 2010). In particular, we prove a randomized version of the hitting property of expander random walks and apply it to obtain a concentration bound for expander random walks which is essentially optimal for small deviations and a large number of steps. At the same time, we present a simpler proof that still yields a "right" bound settling a question asked by Impagliazzo and Kabanets. Next, we obtain a simple upper tail bound for polynomials with input variables in $[0, 1]$ which are not necessarily independent, but obey a certain condition inspired by Impagliazzo and Kabanets. The resulting bound is used by Holenstein and Sinha (FOCS, 2012) in the proof of a lower bound for the number of calls in a black-box construction of a pseudorandom generator from a one-way function. We then show that the same technique yields the upper tail bound for the number of copies of a fixed graph in an Erdős-Rényi random graph, matching the one given by Janson, Oleszkiewicz and Ruciński (Israel J. Math, 2002).

研究动机与目标

• 将Impagliazzo和Kabanets的组合证明技术扩展到有限独立性或弱依赖的设定中。
• 解决Impagliazzo和Kabanets关于展开图随机游走最优集中界的一个开放问题。
• 推导在[0,1]变量上多项式函数的上尾界，这些变量不一定是独立的，但满足增长有界性条件。
• 使用新框架重新推导并恢复Janson-Oleszkiewicz-Ruciński关于Erdős–Rényi随机图中子图计数的上尾界。
• 为Holenstein和Sinha的伪随机生成器下界中使用的关键集中界提供一个自包含的证明。

提出的方法

• 引入‘增长有界性’作为集中性的充分条件，推广经典Chernoff界中的独立性假设。
• 利用展开图随机游走的随机命中性质推导最优尾界，改进了先前的结果。
• 通过组合计数变量配置的方法应用矩方法，以界定多项式函数q(e)的E[q(e)^m]。
• 基于与固定边集的交集模式，对单项式进行递归分解，以控制高阶矩。
• 利用边分布的准独立性条件，将依赖分布与独立的Erdős–Rényi模型关联起来。
• 应用Markov不等式于m阶矩，推导指数尾界，同时仔细控制期望近似中的µ*/µ比值。

实验结果

研究问题

• RQ1 Impagliazzo和Kabanets的组合证明技术能否扩展到超越完全独立性的依赖随机变量？
• RQ2 能否通过命中性质论证，推导出展开图随机游走的最优集中界，如Impagliazzo和Kabanets所提出的问题？
• RQ3 对依赖的[0,1]-取值变量，何种条件可允许多项式函数的紧致上尾界？
• RQ4 该框架能否通过统一的组合方法恢复Erdős–Rényi随机图中子图计数的Janson-Oleszkiewicz-Ruciński界？
• RQ5 增长有界性条件如何用于推导如伪随机生成器构造等场景中的尾界？

主要发现

• 本文在指数部分的常数因子内建立了最优的展开图随机游走集中界，解决了Impagliazzo和Kabanets提出的开放问题。
• 对于满足增长有界性条件的[0,1]变量上的多项式，该方法得到的上尾界与Holenstein和Sinha的伪随机生成器下界中所用的界完全一致。
• 该框架精确恢复了Erdős–Rényi随机图中固定图G的副本数的Janson-Oleszkiewicz-Ruciński上尾界，与他们的结果完全匹配。
• 即使输入变量不独立，只要满足类似准独立性的弱依赖条件，该方法仍能实现紧致的尾界。
• 该框架具有鲁棒性：通过额外努力，可在大步长、小偏差情形下将指数中的常数因子优化至最优。
• 该证明技术具有模块化特性，通过验证增长有界性条件，可应用于包括随机图和伪随机构造在内的多种场景。