[论文解读] Uppers to zero in polynomial rings and Prüfer-like domains

Gyu Whan Chang, Marco Fontana|ArXiv.org|Jan 10, 2008

Rings, Modules, and Algebras参考文献 34被引用 12

一句话总结

本文通过半星运算引入并表征了 $φ$-准普雷费尔域，推广了经典的准普雷费尔域和 UM$t$-域的概念。证明了域是 $φ_{f}$-准普雷费尔域当且仅当它是 $φ_{f}$-本原扩张，并证明了 UM$t$-域的整闭包是 P$v$MD 当且仅当 $D$ 的 $w$-闭包是 P$v$MD 且 $D$ 及其闭包上的 $w$-运算在典范嵌入下相容。

ABSTRACT

Let $D$ be an integral domain and $X$ an indeterminate over $D$. It is well known that (a) $D$ is quasi-Prüfer (i.e, its integral closure is a Prüfer domain) if and only if each upper to zero $Q$ in $D[X] $ contains a polynomial $g \in D[X]$ with content $\co_D(g) = D$; (b) an upper to zero $Q$ in $D[X]$ is a maximal $t$-ideal if and only if $Q$ contains a nonzero polynomial $g \in D[X]$ with $\co_D(g)^v = D$. Using these facts, the notions of UM$t$-domain (i.e., an integral domain such that each upper to zero is a maximal $t$-ideal) and quasi-Prüfer domain can be naturally extended to the semistar operation setting and studied in a unified frame. In this paper, given a semistar operation $\star$ in the sense of Okabe-Matsuda, we introduce the $\star$-quasi-Prüfer domains. We give several characterizations of these domains and we investigate their relations with the UM$t$-domains and the Prüfer $v$-multiplication domains.

研究动机与目标

• 将经典的准普雷费尔域与 UM$t$-域的概念推广到半星运算框架下。
• 研究 $φ$-准普雷费尔域在本原扩张与 INC 性质方面的结构与理想理论性质。
• 解决关于 UM$t$-域整闭包及这些域的局部-整体行为的开放问题。
• 为使用半星运算研究类似普雷费尔域的理论提供统一框架。
• 证明 UM$t$-域具有 P$v$MD 整闭包当且仅当其 $w$-闭包是 P$v$MD 且在典范嵌入下 $w$-运算相容。

提出的方法

• 在整环 $D$（其分式域为 $K$）上通过半星运算 $φ$ 引入 $φ$-准普雷费尔域的概念。
• 利用 $φ_f$-本原扩张的概念及相关的 $Na(D, φ_f)$ 构造，表征 $φ_f$-准普雷费尔域。
• 建立 $φ_f$-准普雷费尔域、$φ_f$-INC 域以及 $Na(D, φ_f)$ 中扩展素理想性质之间的等价关系。
• 应用 $w$-运算与 $v$-运算分析维数与整性性质，尤其在 UM$t$-域的背景下。
• 利用典范嵌入 $ ilde{\iota}: D \hookrightarrow \widetilde{D}$ 关联 $D$ 及其整闭包 $\widetilde{D}$ 上的 $w$-运算，证明 $(w_D)_{\widetilde{\iota}} = w_{\widetilde{D}}$。
• 利用关于 P$v$MD 与 $t$-可逆性的已知结果，证明 $D$ 是 P$\star$MD 当且仅当每个二生成理想都是 $\star_f$-可逆的。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下域 $D$ 是 $\star_f$-准普雷费尔域？这与 $\star_f$-本原扩张及 INC 性质有何关系？
• RQ2 在什么条件下 UM$t$-域的整闭包是 P$v$MD？这与 $w$-运算的行为有何关联？
• RQ3 UM$t$-域的 $w$-维数与 $t$-维数如何与 $Na(D,v)$ 环的维数相关？
• RQ4 半星运算框架在何种方式下统一了准普雷费尔域、UM$t$-域与 P$v$MD 的理论？
• RQ5 UM$t$-域的局部-整体行为是否完全由 $D$ 及其整闭包上 $w$-运算的相容性所刻画？

主要发现

• 域 $D$ 是 $\star_f$-准普雷费尔域当且仅当 $D \subseteq K$ 是 $\star_f$-本原扩张。
• 域 $D$ 是 $\star_f$-准普雷费尔域当且仅当每个包含 $D$ 的超环 $R$ 都是 $(\star_f)_{\iota}$-准普雷费尔域。
• $\mathrm{Na}(D, \star_f)$ 是准普雷费尔域当且仅当 $D$ 是 $\star_f$-准普雷费尔域。
• $\mathrm{Na}(D, \star_f)$ 的整闭包是普雷费尔域当且仅当 $D$ 是 $\star_f$-准普雷费尔域。
• 对于半星运算 $\star$，$D$ 是 $\star_f$-准普雷费尔域当且仅当 $D$ 是 $t$-准普雷费尔域且每个 $\star_f$-极大理想都是 $t$-理想。
• UM$t$-域 $D$ 具有 P$v$MD 整闭包当且仅当 $\widetilde{D}$ 是 P$v$MD 且 $(w_D)_{\widetilde{\iota}} = w_{\widetilde{D}}$，从而解决了关于 UM$t$-域局部-整体行为的一个开放问题。