[论文解读] Upside Down Numerical Equation, Bimagic Squares, and the day September 11

Inder J. Taneja|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2010

Advanced Mathematical Theories and Applications被引用 3

一句话总结

本文介紹了倒置雙重魔方陣——即在旋轉180度後仍保持魔方陣性質的魔方陣——僅使用數位形式的數字0、1、2、6和9。基於日期11.09.2001與20.10.2010所推導出的數學等式，構造了9×9、16×16和25×25階的雙重魔方陣，並在旋轉下保持S1與S2總和不變，這是首次實現此類高階倒置雙重魔方陣的構造。

ABSTRACT

In this short note we have given an equation based on the date 11.09.2001 and presented some magic squares. The magic squares presented are of order 3x3, 4x4, 5x5, 9x9, 16x16 and 25x25. While the magic square of higher order 9x9, 16x16 and 25x25 are bimagic. These magic squares are based on the digits, 1-6-9, 0-1-2, 0-1-2-9 and 0-1-2-6-9. The interesting fact in all these magic squares is that if we gave them a rotation of 180 degrees, they remain again the magic squares. In order to have this rotation, we have used the numbers in digital forms. Moreover, the day of submission of this work (20.10.2010) has only the digits 0, 1 and 2. Using only these three digits, we have presented magic squares of order 3x3 and 9x9.

研究动机与目标

• 探討日期11.09.2001的數學奇趣及其數位形式下的數值對稱性。
• 構造在180度旋轉下仍有效的魔方陣，專注於數字集合{1,6,9}與{0,1,2}。
• 將這些性質延伸至雙重魔方陣——即行、列與對角線的和與平方和在180度旋轉下均不變——適用於更高階次。
• 提出首個已知的高階倒置雙重魔方陣範例，特別是9×9、16×16與25×25階。
• 證明S1與S2值在不同數字組合與方陣階次下保持一致。

提出的方法

• 僅使用數位形式的數字0、1、2、6與9來構造魔方陣，以實現180度旋轉對稱性。
• 建立3×3、4×4、9×9、16×16與25×25的矩陣，使每一行、每一列與對角線的和均為相同值S1。
• 透過驗證每一行、每一列與對角線中元素平方和等於S2，確保雙重魔方陣性質。
• 利用數字集合生成3位數、4位數與5位數，以填滿較大矩陣（例如，以3×3個3位數塊構造9×9矩陣）。
• 透過檢查旋轉後的數字（如6→9、9→6、1→1、0→0、2→2）是否保持魔方陣與雙重魔方陣性質，驗證S1與S2在180度旋轉下不變。
• 利用數位形式的對稱性，確保整個方陣在旋轉後仍為有效的魔方陣或雙重魔方陣。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否構造出僅使用特定數字的數位形式，且在180度旋轉下仍保持雙重魔方陣性質的雙重魔方陣？
• RQ2 由數字集合{1,6,9}、{0,1,2}與{0,1,2,6,9}構造的9×9、16×16與25×25階倒置雙重魔方陣，其S1與S2值分別為何？
• RQ3 由逐漸增加的數字集合構造的雙重魔方陣，其S1值之間是否存在一致的數學關係？
• RQ4 能否在使用不同數字集合與模塊結構的情況下，於9×9與16×16雙重魔方陣中均實現相同的S1值（53328）？
• RQ5 25×25階倒置雙重魔方陣是否具有其他性質，如泛對角性？

主要发现

• 使用數字{1,6,9}的9×9倒置雙重魔方陣，S1 = 53328，S2 = 414976074，每個3×3子方陣的和為53328，平方和為414976074。
• 使用數字{0,1,2}的9×9倒置雙重魔方陣，S1 = 9999，S2 = 17169395，每個3×3子方陣的和為9999，平方和為17169395。
• 使用數字{0,1,2,9}的16×16倒置雙重魔方陣，S1 = 53328，S2 = 379762424，每個4×4子方陣的和為53328，平方和為379762424。
• 使用數字{0,1,2,6,9}的25×25倒置雙重魔方陣，S1 = 99990，S2 = 688808890，每個5×5子方陣的和為99990，平方和為688808890。
• S1值53328同時出現在9×9與16×16雙重魔方陣中，儘管使用了不同的數字集合與模塊結構。
• 25×25雙重魔方陣亦具備泛對角性，顯示其在旋轉不變性之外還具有額外的對稱層次。